2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Натуральное число
Сообщение25.02.2007, 13:16 


03/02/07
254
Киев
Натуральное $n>101$ делится на 101, причем каждый его делитель $d$,$1<d<n$ есть разность двух натуральных делителей числа $n$. Доказать, что $n$ делится и на 100.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.02.2007, 16:19 


25/02/07
16
Московский Институт Электроники и Математики
Знаю только как доказать делимость на 2

101 - делитель n
101 = d1 - d2
-> d1 и d2 разные по четности, раз в разность нечетная, значит один из них четный, следовательно n делится на 2

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.02.2007, 16:49 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Так как n не может представляться в таком виде, надо ввести небольшое уточнение. Каждый собственный делитель (делитель не совпадающий с n ) представляется в виде разности двух делителей.
Легко получается, что вместе с каждым простым делитем p, числа n - число p-1 так же является делителем. Это простое урпажнение для школьника.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.02.2007, 17:03 


25/02/07
16
Московский Институт Электроники и Математики
Руст писал(а):
Легко получается, что вместе с каждым простым делитем p, числа n - число p-1 так же является делителем.


Но в условии написано что для любого делителя x можно найти еще два делителя y, z, для которых верен предикат P(x,y,z), а не что для любых делителей x, y, z верно P(x,y,z)... или я ничего не понял

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.02.2007, 17:16 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Yntz писал(а):
Руст писал(а):
Легко получается, что вместе с каждым простым делитем p, числа n - число p-1 так же является делителем.


Но в условии написано что для любого делителя x можно найти еще два делителя y, z, для которых верен предикат P(x,y,z), а не что для любых делителей x, y, z верно P(x,y,z)... или я ничего не понял

Не понял к чему ваше замечание. Если к первому, то для x=n не существуют y и x. Именно поэтому я сказал об внесении уточнения.
А второе - я не утверждаю, что разница любых двух делитей является делителем, а говорю, что для простого делителя p легко доказывается, что p-1 так же делитель исходя из условия. Достаточно рассмотреть представление числа n/p в виде разности двух делителей n/a-n/b.
Интереснее доказать, что начиная от любого числа n1 взяв $n_2=LCM(n_1,p_1-1,...,p_k-1)$ (беря НОК, включающий p-1, по всем простым делителям), далее продолжая этот простой алгоритм добавляя делимость на p-1 для вновь добавленных простых, придём к окончательному числу n, удовлетворяющему условию задачи.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.02.2007, 18:02 


25/02/07
16
Московский Институт Электроники и Математики
Про первое - в условии было "каждый его делитель 1<d<n" , то есть уже делитель собственный.

Со вторым согласен.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.02.2007, 20:23 


27/02/07
6
Что-то мне не очень понятно, как доказывать то, что если p-делитель, то (p-1)-тоже, где p-простое :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.02.2007, 23:12 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Из $\frac 1p =\frac 1a -\frac 1b$ получаем, что b делится на р. Пусть b=mp, тогда a(m+1)=mp. Откуда следует m+1=p, a=m=p-1 делитель n.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.02.2007, 13:35 


27/02/07
6
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.02.2007, 15:13 


03/02/07
254
Киев
:oops: :oops: :oops: :oops: почему из $\frac 1p=\frac 1a -\frac 1b$ следует, что $b$ делится на $p$? :oops: :oops: :oops: :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.02.2007, 18:19 


27/02/07
6
p(b-a)=ab (просто свели к общему знаменателю и перевернули), левая часть делится на b, но (b-a) не может делиться на b, т.к. b>a.
Значит, b делится на p.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.02.2007, 18:46 


03/02/07
254
Киев
:) А разве не наоборот: $p$ делится на $b$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.02.2007, 22:32 


27/02/07
6
Нет, не наоборот. p-простое

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.03.2007, 05:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Trius писал(а):
почему из $\frac 1p=\frac 1a -\frac 1b$ следует, что $b$ делится на $p$?

$p|ab$, но $p\nmid a$, т.к. $a<p$ (поскольку $\frac1a=\frac1p+\frac1b>\frac1p$)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group