Натуральное число

[Trius]

Натуральное $n>101$ делится на 101, причем каждый его делитель $d$,$1<d<n$ есть разность двух натуральных делителей числа $n$. Доказать, что $n$ делится и на 100.

[Yntz]

Знаю только как доказать делимость на 2

101 - делитель n
101 = d1 - d2
-> d1 и d2 разные по четности, раз в разность нечетная, значит один из них четный, следовательно n делится на 2

[Руст]

Так как n не может представляться в таком виде, надо ввести небольшое уточнение. Каждый собственный делитель (делитель не совпадающий с n ) представляется в виде разности двух делителей.
Легко получается, что вместе с каждым простым делитем p, числа n - число p-1 так же является делителем. Это простое урпажнение для школьника.

[Yntz]

Руст писал(а):

Легко получается, что вместе с каждым простым делитем p, числа n - число p-1 так же является делителем.

Но в условии написано что для любого делителя x можно найти еще два делителя y, z, для которых верен предикат P(x,y,z), а не что для любых делителей x, y, z верно P(x,y,z)... или я ничего не понял

[Руст]

Yntz писал(а):

Руст писал(а):

Легко получается, что вместе с каждым простым делитем p, числа n - число p-1 так же является делителем.

Но в условии написано что для любого делителя x можно найти еще два делителя y, z, для которых верен предикат P(x,y,z), а не что для любых делителей x, y, z верно P(x,y,z)... или я ничего не понял

Не понял к чему ваше замечание. Если к первому, то для x=n не существуют y и x. Именно поэтому я сказал об внесении уточнения.
А второе - я не утверждаю, что разница любых двух делитей является делителем, а говорю, что для простого делителя p легко доказывается, что p-1 так же делитель исходя из условия. Достаточно рассмотреть представление числа n/p в виде разности двух делителей n/a-n/b.
Интереснее доказать, что начиная от любого числа n1 взяв $n_2=LCM(n_1,p_1-1,...,p_k-1)$ (беря НОК, включающий p-1, по всем простым делителям), далее продолжая этот простой алгоритм добавляя делимость на p-1 для вновь добавленных простых, придём к окончательному числу n, удовлетворяющему условию задачи.

[Yntz]

Про первое - в условии было "каждый его делитель 1<d<n" , то есть уже делитель собственный.

Со вторым согласен.

[JS]

Что-то мне не очень понятно, как доказывать то, что если p-делитель, то (p-1)-тоже, где p-простое

[Руст]

Из $\frac 1p =\frac 1a -\frac 1b$ получаем, что b делится на р. Пусть b=mp, тогда a(m+1)=mp. Откуда следует m+1=p, a=m=p-1 делитель n.

[JS]

Спасибо!

[Trius]

почему из $\frac 1p=\frac 1a -\frac 1b$ следует, что $b$ делится на $p$?

[JS]

p(b-a)=ab (просто свели к общему знаменателю и перевернули), левая часть делится на b, но (b-a) не может делиться на b, т.к. b>a.
Значит, b делится на p.

[Trius]

А разве не наоборот: $p$ делится на $b$?

[JS]

Нет, не наоборот. p-простое

[RIP]

Trius писал(а):

почему из $\frac 1p=\frac 1a -\frac 1b$ следует, что $b$ делится на $p$?

$p|ab$, но $p\nmid a$, т.к. $a<p$ (поскольку $\frac1a=\frac1p+\frac1b>\frac1p$)