Рассмотрим семейство героновых треугольников с длинами сторон

и площадью

, где

- целые числа.
Рассматриваются два случая, первый

нечетное, второй

четное.
Рассмотрим первый случай:

- нечетное.
Положим

. Тогда

Используя первое тождество для чисел Фибоначчи получаем, что

Один геронов треугольник получили.
Положим теперь

. Тогда

.
Используя второе тождество, получаем

.
Теперь имеем пару героновых треугольников с искомой площадью.
Осталось показать, что они не равны.
Достаточно показать, что не равны самые короткие стороны в них. Т.е.

. Действительно, справедливо неравенство

или

или

. Последнее справедливо, поскольку

.
Случай нечетного

разобран.
Доказательство для четного

проводится аналогично.

, конечно, другие.