$lim f(x)=0$ теоремой Бэра о категории

[xmaister]

С использованием теоремы Бэра о категории требуется доказать следующее утверждение: Пусть $f:(0,\infty )\to\mathbb{R}$- непрерывна, такая что для любого $x>0$ $\lim\limits_{n\to\infty}f(nx)=0$, тогда $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$.

[Профессор Снэйп]

А это вообще верно?

Я вот представил себе функцию с бесконечным числом "пиков" высоты $1$, причём толщина пиков с ростом $x$ уменьшается, между пиками функция равна нулю и отношения вершин этих пиков иррациональны.

[xmaister]

А разве Ваша функция будет выдерживать, то что $\lim\limits_{n\to\infty}f(nx)=0$ для любого $x>0$?

(Оффтоп)

Вообще в упражнении сказано, что это утверждение называют леммой Крофта. Гугл на запрос лемма Крофта ничего дельного не выдал

[Профессор Снэйп]

Ну, я не утверждал категорически, что это неверно. Просто усомнился, что верно.

[Oleg Zubelevich]

xmaister в сообщении #564290 писал(а):

С использованием теоремы Бэра о категории требуется доказать следующее утверждение: Пусть $f:(0,\infty )\to\mathbb{R}$- непрерывна, такая что для любого $x>0$ $\lim\limits_{n\to\infty}f(nx)=0$, тогда $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$.

Предположим противное: найдется последовательность $x_k\to\infty$ такая, что $|f(x_k)|\ge c>0$. Рассмотрим замкнутые множества $A_n=\{x\ge 1\mid |f(ix)|\le c/2,\quad i\ge n,\quad i\in\mathbb{N}\}$. Тогда по условию $\cup_{n\in\mathbb{N}}A_n=[1,\infty)$.
............

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #564525 писал(а):

Предположим противное: найдется последовательность $x_k\to\infty$ такая, что $|f(x_k)|\ge c>0$. Рассмотрим замкнутые множества $A_n=\{x\ge 1\mid |f(ix)|\le c/2,\quad i\ge n,\quad i\in\mathbb{N}\}$. Тогда по условию $\cup_{n\in\mathbb{N}}A_n=[1,\infty)$.
............

А почему $A_n$ не может иметь внутренних точек?

-- Пт апр 27, 2012 18:31:24 --

Понял. Если $(a,b)\subset A_n$, то $\bigcup_{i=n}^\infty (ia,ib)$ содержит окрестность плюс бесконечности.

[Oleg Zubelevich]

а вот интересно можно ли изготовить непрерывную на намножестве рациональных чисел функцию для которой утверждение было бы неверно? Т.е. заменить в условии $(0,\infty)$ на $\mathbb{Q}\cap (0,\infty)$

[hippie]

Oleg Zubelevich в сообщении #564586 писал(а):

А вот интересно можно ли изготовить непрерывную на множестве рациональных чисел функцию для которой утверждение было бы неверно?

Можно.
Достаточно чтобы эта функция равнялась 0 всюду кроме интервалов вида $(k; k+\frac 1k),\ \ k\in\mathbb{Z},$ а на каждом из этих интервалов максимум был не меньше 1.

[Oleg Zubelevich]

Условие непрерывности $f$ можно несколько ослабить: достаточно считать, что $|f(x)|$ полунепрерывна снизу на $(0,\infty)$

[xmaister]

Oleg Zubelevich, я не понимаю, почему $A_n$ нигде не плотно?

[Oleg Zubelevich]

Padawan уже все разъяснения дал. Думаю, что хотя бы записать уже готовое решение Вы можете и сами

[xmaister]

Вот это:

Padawan в сообщении #564582 писал(а):

Если $(a,b)\subset A_n$, то $\bigcup_{i=n}^\infty (ia,ib)$ содержит окрестность плюс бесконечности.

мне пока что не очевидно...

[xmaister]

Мне думается, что условие "для произвольного $x>0$ тут излишне. Может как-нибудь сослаться на ррмод1 последовательности $nx$ при иррациональном $x$?