2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 $lim f(x)=0$ теоремой Бэра о категории
Сообщение26.04.2012, 21:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
С использованием теоремы Бэра о категории требуется доказать следующее утверждение: Пусть $f:(0,\infty )\to\mathbb{R}$- непрерывна, такая что для любого $x>0$ $\lim\limits_{n\to\infty}f(nx)=0$, тогда $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: $lim f(x)=0$ теоремой Бэра о категории
Сообщение27.04.2012, 08:16 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
А это вообще верно?

Я вот представил себе функцию с бесконечным числом "пиков" высоты $1$, причём толщина пиков с ростом $x$ уменьшается, между пиками функция равна нулю и отношения вершин этих пиков иррациональны.

 Профиль  
                  
 
 Re: $lim f(x)=0$ теоремой Бэра о категории
Сообщение27.04.2012, 09:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
А разве Ваша функция будет выдерживать, то что $\lim\limits_{n\to\infty}f(nx)=0$ для любого $x>0$?

(Оффтоп)

Вообще в упражнении сказано, что это утверждение называют леммой Крофта. Гугл на запрос лемма Крофта ничего дельного не выдал

 Профиль  
                  
 
 Re: $lim f(x)=0$ теоремой Бэра о категории
Сообщение27.04.2012, 09:56 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Ну, я не утверждал категорически, что это неверно. Просто усомнился, что верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: $lim f(x)=0$ теоремой Бэра о категории
Сообщение27.04.2012, 13:19 


10/02/11
6786
xmaister в сообщении #564290 писал(а):
С использованием теоремы Бэра о категории требуется доказать следующее утверждение: Пусть $f:(0,\infty )\to\mathbb{R}$- непрерывна, такая что для любого $x>0$ $\lim\limits_{n\to\infty}f(nx)=0$, тогда $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$.


Предположим противное: найдется последовательность $x_k\to\infty$ такая, что $|f(x_k)|\ge c>0$. Рассмотрим замкнутые множества $A_n=\{x\ge 1\mid |f(ix)|\le c/2,\quad i\ge n,\quad i\in\mathbb{N}\}$. Тогда по условию $\cup_{n\in\mathbb{N}}A_n=[1,\infty)$.
............

 Профиль  
                  
 
 Re: $lim f(x)=0$ теоремой Бэра о категории
Сообщение27.04.2012, 16:24 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
Oleg Zubelevich в сообщении #564525 писал(а):
Предположим противное: найдется последовательность $x_k\to\infty$ такая, что $|f(x_k)|\ge c>0$. Рассмотрим замкнутые множества $A_n=\{x\ge 1\mid |f(ix)|\le c/2,\quad i\ge n,\quad i\in\mathbb{N}\}$. Тогда по условию $\cup_{n\in\mathbb{N}}A_n=[1,\infty)$.
............

А почему $A_n$ не может иметь внутренних точек?

-- Пт апр 27, 2012 18:31:24 --

Понял. Если $(a,b)\subset A_n$, то $\bigcup_{i=n}^\infty (ia,ib)$ содержит окрестность плюс бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: $lim f(x)=0$ теоремой Бэра о категории
Сообщение27.04.2012, 16:37 


10/02/11
6786
а вот интересно можно ли изготовить непрерывную на намножестве рациональных чисел функцию для которой утверждение было бы неверно? Т.е. заменить в условии $(0,\infty)$ на $\mathbb{Q}\cap (0,\infty)$

 Профиль  
                  
 
 Re: $lim f(x)=0$ теоремой Бэра о категории
Сообщение27.04.2012, 17:00 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Oleg Zubelevich в сообщении #564586 писал(а):
А вот интересно можно ли изготовить непрерывную на множестве рациональных чисел функцию для которой утверждение было бы неверно?

Можно.
Достаточно чтобы эта функция равнялась 0 всюду кроме интервалов вида $(k; k+\frac 1k),\ \ k\in\mathbb{Z},$ а на каждом из этих интервалов максимум был не меньше 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: $lim f(x)=0$ теоремой Бэра о категории
Сообщение27.04.2012, 18:28 


10/02/11
6786
Условие непрерывности $f$ можно несколько ослабить: достаточно считать, что $|f(x)|$ полунепрерывна снизу на $(0,\infty)$

 Профиль  
                  
 
 Re: $lim f(x)=0$ теоремой Бэра о категории
Сообщение28.04.2012, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Oleg Zubelevich, я не понимаю, почему $A_n$ нигде не плотно?

 Профиль  
                  
 
 Re: $lim f(x)=0$ теоремой Бэра о категории
Сообщение28.04.2012, 20:53 


10/02/11
6786
Padawan уже все разъяснения дал. Думаю, что хотя бы записать уже готовое решение Вы можете и сами

 Профиль  
                  
 
 Re: $lim f(x)=0$ теоремой Бэра о категории
Сообщение28.04.2012, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Вот это:
Padawan в сообщении #564582 писал(а):
Если $(a,b)\subset A_n$, то $\bigcup_{i=n}^\infty (ia,ib)$ содержит окрестность плюс бесконечности.

мне пока что не очевидно...

 Профиль  
                  
 
 Re: $lim f(x)=0$ теоремой Бэра о категории
Сообщение19.08.2012, 08:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Мне думается, что условие "для произвольного $x>0$ тут излишне. Может как-нибудь сослаться на ррмод1 последовательности $nx$ при иррациональном $x$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group