Сходимость последоательности $a_{n+1}=\frac2{a_n+a_{n-1}}$

[xmaister]

Пусть $a_1>0,a_2>0$. Доказать, что последовательность, заданная условием $a_{n+1}=\frac2{a_n+a_{n-1}}$ сходится.

[RIP]

topic5056.html
там я ссылаюсь на topic5050.html

[xmaister]

maxal в сообщении #41648 писал(а):

После этого существование предела легко доказывается в виду ограниченности снизу.

Она монотонна? Но почему?

[RIP]

Не знаю, что имел в виду maxal, но можно рассуждать примерно так. Из того неравенства следует, что посл-ть $b_n=\max \{a_{n+k-1},\ldots,a_n\}$ невозрастающая, поэтому сходится к некоторому пределу $a=\limsup a_n$. Если бы оказалось, что $\liminf a_n<a$, то для некоторого $\delta>0$ и подходящих $N\to\infty$ получили бы: $a_N\le a-\delta$, $a_n\le a+o(1)$, $N<n<N+k$. Тогда последовательно получили бы: $a_{N+k}\le a+o(1)-p_0\delta$, $a_{N+k+1}\le a+o(1)-p_{k-1}p_0\delta$ и т.д. В общем, получилось бы $b_{N+k}<a+o(1)-c\delta$ для некоторой постоянной $c>0$, что противоречит тому, что $b_n\to a$. Что надо поменять, если некоторые из $p_j$ нулевые, думать лень. По идее, должны пройти те же соображения, только противоречивое нерво получается не для $b_{N+k}$, а чуть дальше (т.е. те $a_n$, которые "существенно" меньше $a$, постепенно накапливаются, уплотняются и в какой-то момент должны заполнить отрезок длины $k$).