Матрица плотности для осциллятора.

[Ilia_]

В трёхмерном и двумерном случае можно довольно просто разделить переменные. Уравнение Шрёдингера:

$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)+\frac{m\omega^2}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)\right]\Psi(x,y,z)=E\Psi(x,y,z)$$

Видно, что собственными функциями могут быть $\Psi_{mln}(x,y,z)=\Psi_m(x)\Psi_l(y)\Psi_n(z)$, где $\Psi_m(x)$ - собственная функция линейного осциллятора. Единственное, чего я не могу с ходу показать, это полноту получившейся системы. Ортонормированность-то у неё, очевидно, есть... Но если есть и полнота, то всё просто, $\rho(x,y,z,x\prime,y\prime,z\prime)=\rho(x,x\prime)\rho(y,y\prime)\rho(z,z\prime)$ и всё отличие только в том, что три интеграла. Поскольку $U\sim x^2+y^2+z^2$, то выражение для $\overline U$ распадается на

$$\overline U\sim\int dxx^2\rho(x)\int dy\rho(y)\int dz\rho(z)+\int dx \rho(x)\int dyy^2\rho(y)\int dz\rho(z)+\int dx \rho(x)\int dy\rho(y)\int dzz^2\rho(z)\sim$$$$\sim3\int dxx^2\rho(x)\int dy\rho(y)\int dz\rho(z)\sim3\int dxx^2\rho(x)\sim3\overline U_{\text{линейного}}\Rightarrow 3\frac{kT}{2},$$

для кинетической аналогично. Под $\rho(x)$ я подразумеваю одночастичную функцию $\rho(q,q\prime)$ при $q=q\prime$. Подробнее вычисления не расписываю, так как интеграл $\int dx\,x^2\rho(x)$ вы уже взяли, а $\int dx \rho(x)= 1$ следует из $\operatorname{Sp}\hat\rho=1$. Если есть желание, можете проследить за размерными множителями.

Теперь про теорему вириала.

Там мы получаем значение сразу для $\overline{E}$, пользуясь выражением для матрицы плотности в энергетическом представлении. Иначе говоря, не $\langle q\prime|\hat \rho|q\rangle=\rho(q,q\prime)$, а $\langle m|\hat \rho|n\rangle=\rho(E_n)\delta_{nm}$. Теорема вириала нужна лишь для того, чтобы сказать, что $\overline{U}=\overline{T}=\overline{E/2}$

Для полноты картины, выложу обсуждаемое решение в этой теме.

Из теоремы вириала следует $\langle \hat U\rangle=\langle \hat T\rangle$. Так как $\langle \hat H\rangle=\langle \hat U\rangle+\langle \hat T\rangle$, то нам достаточно посчитать $\langle \hat H\rangle$ и разделить на два. По определению

$$\langle \hat H\rangle=\operatorname{Sp}\hat H\hat\rho = \frac1z\operatorname{Sp}\hat H e^{-\frac{\hat H}{kT}}=\frac{\operatorname{Sp}\hat H e^{-\frac{\hat H}{kT}}}{\operatorname{Sp} e^{-\frac{\hat H}{kT}}}$$

Так как шпур не зависит от базиса, в котором мы его берём, возьмём его в базисе собственных функций оператора Гамильтона.

$$\langle \hat H\rangle=\frac{\Sigma_{n=0}^\infty\langle n|\hat H e^{-\frac{\hat H}{kT}}|n\rangle}{\Sigma_{n=0}^\infty\langle n|e^{-\frac{\hat H}{kT}}|n\rangle}=\frac{\Sigma_{n=0}^\infty E_n e^{-\frac{E_n}{kT}}}{\Sigma_{n=0}^\infty e^{-\frac{E_n}{kT}}}$$

Далее следует хитрый финт ушами: заметим, что $E_n \exp(-E_n/kT)=-\frac{\partial}{\partial(1/kT)}\exp(-E_n/kT)$. Тогда

$$\langle \hat H\rangle=-\frac{\Sigma_{n=0}^\infty \frac{\partial}{\partial(1/kT)} e^{-\frac{E_n}{kT}}}{\Sigma_{n=0}^\infty e^{-\frac{E_n}{kT}}}=-\frac{\frac{\partial}{\partial(1/kT)}\Sigma_{n=0}^\infty e^{-\frac{E_n}{kT}}}{\Sigma_{n=0}^\infty e^{-\frac{E_n}{kT}}}=-\frac{\partial}{\partial(1/kT)}\ln\left(\Sigma_{n=0}^\infty e^{-\frac{E_n}{kT}}\right)$$

Сумму посчитаем отдельно по формуле геометрической прогрессии.

$$\Sigma_{n=0}^\infty e^{-\frac{E_n}{kT}}=\Sigma_{n=0}^\infty e^{-\frac{\hbar\omega(n+1/2)}{kT}}=e^{-\frac{\hbar\omega}{2kT}}\Sigma_{n=0}^\infty e^{-\frac{\hbar\omega n}{kT}}=\frac{e^{-\frac{\hbar\omega}{2kT}}}{1-e^{-\frac{\hbar\omega}{kT}}}=\frac{1}{2\sh\left( \frac{\hbar\omega}{2kT}\right)}$$

Итак,

$$\langle \hat H\rangle=\frac{\partial}{\partial(1/kT)}\ln\left(2\sh \frac{\hbar\omega}{2kT}\right)=\frac{\hbar\omega}{2}\frac{\ch \frac{\hbar\omega}{2kT}}{\sh\frac{\hbar\omega}{2kt}}=\frac{\hbar\omega}{2}\cth\frac{\hbar\omega}{2kT}$$

$$\langle \hat U\rangle=\langle \hat T\rangle=\frac{\hbar \omega}{4}\cth \frac{\hbar \omega}{2kT}$$

Отличие для трёхмерного осциллятора в применении данной методики будет заключаться в том, что придётся учесть вырождение уровней.

[longstreet]

Большое спасибо Вам, Ilia_

-- 26.04.2012, 20:04 --

В книге Р. Кубо "Статистическая механика" (которую Вы посоветовали насчёт параграфа про матрицу плотности) в конце параграфа первая часть первой задачи:

Цитата:

1. Классическая система находится в контакте с термостатом при температуре $T^{0}$ К. Показать, 1) что средняя кинетическая энергия на одну степень свободы равна $\left(1/2\right)kT$

Это и есть часть той задача, которую я решал? Не пойму, там какой-то совсем другой способ...