- коэффициент пропорциональности между Кельвином и Джоулем. Если температуру писать в Джоулях, то
не нужна. В вашей формуле аргументом гиперболического тангенса служит
, а это должна быть величина безразмерная. Значит, температура уже выражена в энергетических единицах. Если вас это смущает, замените везде
на
.
Что касается интеграла. Не забывайте, что он берётся в бесконечных пределах - кусок
в этих пределах даёт строго ноль.
Значение равно
лишь в пределе высоких температур
. Рассмотрите этот предел.
Да, и формулы сверьте с ЛЛ, пожалуйста. Мне кажется, у вас лишняя
возникла, ведь безразмерным является
, а не
. Численный коэффициент на вашей совести -
на самом деле прекрасно сокращается, и в знаменателе не 8.
-- 16.12.2011, 18:02 --Ну да, так и есть. Посмотрел ЛЛ 5,
- там гамильтониан осциллятора
. То есть масса принята за 1. Поэтому надо либо в показателе экспоненты и под корнем массу дописать, либо принять ей единицей везде.
положить после того, как подействовать оперетором Лапласа, но до интегрирования? Хорошо! Вроде в Ландау на это тоже внимание обращено. Уяснил.
Спасибо огромное! Сейчас подставляю…![$$\overline{E}_{\text{кин}}=\int\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\cdot\frac{\partial^2}{\partial q^2}\left[\left(\frac{\omega}{\pi \hbar}\tanh\frac{\hbar\omega}{2T}\left)^{\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{\omega\left(q+q'\right)^2}{4\hbar}\tanh\frac{\hbar\omega}{2T}-\frac{\omega(q-q')^2}{4\hbar}\coth\frac{\hbar\omega}{2T}\right)\right]\right]_{q'=q}dq$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9d79528e01ec31f5b4feb3d7d83a7082.png "$$\overline{E}_{\text{кин}}=\int\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\cdot\frac{\partial^2}{\partial q^2}\left[\left(\frac{\omega}{\pi \hbar}\tanh\frac{\hbar\omega}{2T}\left)^{\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{\omega\left(q+q'\right)^2}{4\hbar}\tanh\frac{\hbar\omega}{2T}-\frac{\omega(q-q')^2}{4\hbar}\coth\frac{\hbar\omega}{2T}\right)\right]\right]_{q'=q}dq$$")
![$$\overline{E}_{\text{пот}}=\int\left[\frac{m\omega^2 q^2}{2}\cdot\left[\left(\frac{\omega}{\pi \hbar}\tanh\frac{\hbar\omega}{2T}\left)^{\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{\omega\left(q+q'\right)^2}{4\hbar}\tanh\frac{\hbar\omega}{2T}-\frac{\omega(q-q')^2}{4\hbar}\coth\frac{\hbar\omega}{2T}\right)\right]\right]_{q'=q}dq$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/6/ab63bc2c7a48ab3d45889c63a9f990ce82.png "$$\overline{E}_{\text{пот}}=\int\left[\frac{m\omega^2 q^2}{2}\cdot\left[\left(\frac{\omega}{\pi \hbar}\tanh\frac{\hbar\omega}{2T}\left)^{\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{\omega\left(q+q'\right)^2}{4\hbar}\tanh\frac{\hbar\omega}{2T}-\frac{\omega(q-q')^2}{4\hbar}\coth\frac{\hbar\omega}{2T}\right)\right]\right]_{q'=q}dq$$")
. А то я, наверное, уже достал. 
![$$=\int\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\cdot\frac{\partial^2}{\partial q^2}\left[\left(\frac{\omega}{\pi \hbar}\tanh\frac{\hbar\omega}{2T}\left)^{\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{\omega\left(q+q'\right)^2}{4\hbar}\tanh\frac{\hbar\omega}{2T}\right)\cdot\exp\left(-\frac{\omega(q-q')^2}{4\hbar}\coth\frac{\hbar\omega}{2T}\right)\right]\right]_{q'=q}dq$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/2/252de49bfd44e8628f9f3a8e470aed4a82.png "$$=\int\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\cdot\frac{\partial^2}{\partial q^2}\left[\left(\frac{\omega}{\pi \hbar}\tanh\frac{\hbar\omega}{2T}\left)^{\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{\omega\left(q+q'\right)^2}{4\hbar}\tanh\frac{\hbar\omega}{2T}\right)\cdot\exp\left(-\frac{\omega(q-q')^2}{4\hbar}\coth\frac{\hbar\omega}{2T}\right)\right]\right]_{q'=q}dq$$")
![$$
\overline{E}_{\text{кин}}=-\frac{\hbar^2}{2m}C\int\left[
\frac{\partial^2}{\partial q^2}\left(e^{A\left(q+q'\right)^2}\cdot e^{B\left(q-q'\right)^2}\right)\right]_{q'=q}dq
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/7/58753bd30e50a9ae3af0a765a3acc22582.png "$$
\overline{E}_{\text{кин}}=-\frac{\hbar^2}{2m}C\int\left[
\frac{\partial^2}{\partial q^2}\left(e^{A\left(q+q'\right)^2}\cdot e^{B\left(q-q'\right)^2}\right)\right]_{q'=q}dq
$$")
равным 
. Можно ли тут брать эту частную производную по 
и в прежних обозначениях имеем
сводится заменой переменных 
к 
-функции. Либо берёте один раз по частям и остаётся Гауссов интеграл 
.
, где 
- не слишком резкая функция. По крайней мере, в таком смысле я это выражение слышал. Сам интеграл 
именуется интегралом Пуассона. (Вернее, Эйлера-Пуассона.)
для кинетической.
для состояния, заданного матрицей плотности 
в координатном представлении:![$$
\langle A\rangle=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left[\hat{A}\rho\left(q,q'\right)\right]_{q'=q}dq
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/0/5f059ac706c5f958631e886f9803892782.png "$$
\langle A\rangle=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left[\hat{A}\rho\left(q,q'\right)\right]_{q'=q}dq
$$")
![$$\begin{equation}
\label{1}
{\langle E\rangle}_{\text{пот}}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left[\hat E_{\text{пот}}\rho\left(q,q'\right)\right]_{q'=q}dq=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac{m\omega^2q^2}{2}\rho\left(q,q'\right)\right]_{q'=q}dq
\end{equation}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/6/68673c85ef3974103a8b2587ed54385a82.png "$$\begin{equation}
\label{1}
{\langle E\rangle}_{\text{пот}}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left[\hat E_{\text{пот}}\rho\left(q,q'\right)\right]_{q'=q}dq=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac{m\omega^2q^2}{2}\rho\left(q,q'\right)\right]_{q'=q}dq
\end{equation}$$")
![$$
\rho\left(q,q'\right)=\left(\frac{\omega}{\pi\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right)^{1/2}\exp{\left[-\frac{\omega\left(q+q'\right)^2}{4\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}-\frac{\omega\left(q-q'\right)^2}{4\hbar}}\coth{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right]}
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/3/163e5cd6f5d151bf7b164c7174834c8382.png "$$
\rho\left(q,q'\right)=\left(\frac{\omega}{\pi\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right)^{1/2}\exp{\left[-\frac{\omega\left(q+q'\right)^2}{4\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}-\frac{\omega\left(q-q'\right)^2}{4\hbar}}\coth{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right]}
$$")
):![$$
{\langle E\rangle}_{\text{пот}}=\frac{m\omega^2}{2}\left(\frac{\omega}{\pi\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right)^{1/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}
q^2\exp\left[-\frac{\omega q^2}{\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right]dq=
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/f/adfdc685a17eb10d2e567ff4dd6bc32582.png "$$
{\langle E\rangle}_{\text{пот}}=\frac{m\omega^2}{2}\left(\frac{\omega}{\pi\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right)^{1/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}
q^2\exp\left[-\frac{\omega q^2}{\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right]dq=
$$")
![$$
=\frac{m\omega^2}{2}\left(\frac{\omega}{\pi\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right)^{1/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{2\frac{\omega}{\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}}\exp{\left[-\frac{\omega q^2}{h}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right]}dq=
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/0/bb028bb644735ae5e37df65d6e7a631782.png "$$
=\frac{m\omega^2}{2}\left(\frac{\omega}{\pi\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right)^{1/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{2\frac{\omega}{\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}}\exp{\left[-\frac{\omega q^2}{h}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right]}dq=
$$")
![$$
=\frac{m\omega^2}{4}\left(\frac{\omega\pi}{\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right)^{-1/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp{\left[-\frac{\omega q^2}{\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right]}dq=
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/6/c862ffa7d511ea9768bfceaee376d95682.png "$$
=\frac{m\omega^2}{4}\left(\frac{\omega\pi}{\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right)^{-1/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp{\left[-\frac{\omega q^2}{\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right]}dq=
$$")
не будем писать; массу положим равной единице; температуру переведём из энергетических единиц в кельвины:
нужно разложить в ряд?
. Перепишем 
домножив и поделив на 
, но и числитель 
. А ноль на ноль - неопределённость. Обозначим 
и раскроем неопределённость по правилу Лопиталя, продифференцировав и числитель и знаменатель по 
Круто!!!