В трёхмерном и двумерном случае можно довольно просто разделить переменные. Уравнение Шрёдингера:
![$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)+\frac{m\omega^2}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)\right]\Psi(x,y,z)=E\Psi(x,y,z)$$ $$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)+\frac{m\omega^2}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)\right]\Psi(x,y,z)=E\Psi(x,y,z)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/8/af845e06d038fee26d56721d7e9e4e9382.png)
Видно, что собственными функциями могут быть

, где

- собственная функция линейного осциллятора. Единственное, чего я не могу с ходу показать, это полноту получившейся системы. Ортонормированность-то у неё, очевидно, есть... Но если есть и полнота, то всё просто,

и всё отличие только в том, что три интеграла. Поскольку

, то выражение для

распадается на

для кинетической аналогично. Под

я подразумеваю одночастичную функцию

при

. Подробнее вычисления не расписываю, так как интеграл

вы уже взяли, а

следует из

. Если есть желание, можете проследить за размерными множителями.
Теперь про теорему вириала.
Там мы получаем значение сразу для

, пользуясь выражением для матрицы плотности в энергетическом представлении. Иначе говоря, не

, а

. Теорема вириала нужна лишь для того, чтобы сказать, что

Для полноты картины, выложу обсуждаемое решение в этой теме.
Из теоремы вириала следует

. Так как

, то нам достаточно посчитать

и разделить на два. По определению

Так как шпур не зависит от базиса, в котором мы его берём, возьмём его в базисе собственных функций оператора Гамильтона.

Далее следует хитрый финт ушами: заметим, что

. Тогда

Сумму посчитаем отдельно по формуле геометрической прогрессии.

Итак,


Отличие для трёхмерного осциллятора в применении данной методики будет заключаться в том, что придётся учесть вырождение уровней.