Перенос методов ТКП на двумерное пространство-время.

[Time]

g______d в сообщении #562661 писал(а):

В работах Time утверждается, что выделен некоторых естественный подкласс, как-то связанный с классическими голоморфными функциями комплексной переменной и для которого имеется аналог формулы Коши.

Ничего этого в работах, конечно, в явном виде нет (работы находятся здесь http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... ngp-13.pdf). В том смысле, что там нет ни определения соответствующего класса, ни формулировки теоремы, ни ее доказательства --- по крайней мере, в математическом виде.

Могу согласиться с тем, что такого же доказательства как на комплексной плоскости, выделенности "нужного" подкласса $h$-аналитических функций у нас нет. Более того, я выдвигал гипотезу, почему сейчас такого доказательства и не может быть. Это не правомерное (на мой взгляд) использование стандартного определения понятия сходимости двойных чисел, точно такого же как определение сходимости на комплексной плоскости. Иными словами, заимстование стандартной топологии для условий, в которых, возможно, должна работать совсем иная конструкция.
Если гипотеза верна, согласен, может последовать целый ряд неприятных последствий, которые Вы сами и перечисляли. Но не думаю, что эти неприятности, в конце концов, ни к чему позитивному не приведут. Более того, я уверен (считайте это еще одной гипотезой), что в результате должно получиться не менее стройное и самодостаточное здание, чем теория функций одной действительной переменной, а, в каком то смысле, очень похожее на теорию функций комплексной переменной. Последняя всем хороша, за исключением известного печального факта, что не расширяется на три и более измерений (теорема Фробениуса). Зато гипотетическая ТФДП (теория функций двойной переменной), во-первых, относительно легко лишается своих явных недостатков путем замены поля действительных чисел на поле комплексных, а во-вторых, легко расширяется на три, четыре и более измерений. Неужели подобная перспектива не стОит тех жертв и неудобств, которые нужно претерпеть, отказываясь от стандартной топологии?
Более того, если жертвы все же, по каким-то причинам, неприемлимы и доставляют слишком много неудобств, вполне можно без них обойтись. Для этого достаточно закрыть глаза на пробел в здании теории функций двойной переменной в месте, где в ТФКП определялось строгое понятие сходимости последовательности чисел, а вместе с этим и на естественные пробелы в некоторых следствиях. Недостающие же моменты, в том числе, требуемые Вами уравнения для получения "хороших" функций двойной переменной банально заимствовать из ТФКП, установив однозначное соответствие с элементарными аналитическими функциями комплексной переменной. Благо подобное "урезание", излишне широкое множество всех $h$-аналитических функций, проделать позволяет.
Понятно, что математикам такой "контрабандный" прием не очень понравится, но для приложений он не сильно мешает. Тем более, что приложения вырисовываются совсем даже не слабые. Кому уж совсем невмоготу от пользования контрабандой - пусть занимаются поиском "правильной" топологии и строительством заменителей под нее всех необходимых следствий. А кому важнее уже сегодня ходить в джинсЕ и пользоваться фирменными штучками, лучше даже не задавться вопросом: "Откуда вещички?" Тем более, что на кону не двумерная теория, а ее расширение на четыре комплексифицированных измерения и приложения последней к физике реального пространства-времени.

Цитата:

Далее был мой аргумент, что правая часть формулы Коши представляет собой вещественно-аналитическую функцию, если она определена, а левая часть --- просто гладкая. В ответ на это было дано явное определение нужного подкласса --- функции нужно просто вместо гладких считать вещественно аналитическими. Я утверждаю, что по теореме Уитни это не решит проблему.

Зато проблему решает установление полного соответствия с аналитическими функциями комплексной переменной. Если нельзя обойтись простым ограничением парой вещественно-аналитических функций от одной действительной переменной каждая, давайте брать только такие пары, которые возникают как соответствующие аналитическим функциям комплексной переменной. Что в таком приеме не устраивает?

Цитата:

Я не хотел. Я говорил, что это противоречит наличию параллелей между $h$-аналитическими функциями и голоморфными функциями. Но это не значит, что параллели появятся после того, как это затребуется. Условие вещественной аналитичности, в отличие от комплексной, не является измеряемым. Принцип аналитического продолжения --- это математическая теорема, в которой надо знать сразу все коэффициенты ряда Тейлора точно, и, в отличие от комплексного случая, приближенное знание функции не некотором множестве не даст нам никакой информации о ее поведении на другом множестве. Это тоже следствие теоремы Уитни.

Если требования вещественной аналитичности пары функций одной действительной переменной не достаточно, остается просто волевым решением ограничиться функциями соответствующими обычным аналитическим функциям комплексной переменной. Кому такой прием представляется не приемлимым, остается, либо не пользоваться всеми его приятными следствиями, либо найти "законный" путь и пройти через поиск нестандартной топологии, а заодно и всего, что с этим связано. Я и мои товарищи осознанно выбрали первый вариант. Если он не нравится, попробуйте второй. Есть, конечно, еще и третий вариант - ничего не делать и заявлять: "Первые жулики, а вторые лентяи, одни мы честные и хорошие."

Цитата:

Никто не спорит, что такая интерпретация есть. Но в этой интерпретации ничем не выделены классические и элементарные функции, и все свойства можно сформулировать для гладких функций.

Есть простой прием решить проблему отбора "узкого" класса $h$-аналитических функций, а вопрос поиска более законных способов выделения такого класса отложить "на потом".

Цитата:

Если функция является решением обыкновенного дифференциального уравнения с аналитическими коэффициентами, то при некоторых не очень ограничительных условиях она будет вещественно аналитичной. Уравнений, выделяющих само понятие вещественной аналитичности, нет. Более того (см. также выше), любую гладкую функцию можно аппроксимировать вещественно аналитическими с любой точностью (даже можно сделать, чтобы любое число производных при этом тоже аппроксимировалось). Поэтому при измерениях Вы никогда не отличите вещественно-аналитическую функцию от гладкой.

Правильно ли я понял, что все вещественно-аналитические функции одной действительной переменной представляют собой более широкое множество, чем те вещественно-аналитические функции одной действительной переменной, которые получаются из $h$-аналитических функций, которые тупо берутся из "нашего" соответствия с элементарными аналитическими функциями комплексной переменной? Если так, что мешает найти такие условия, что выделяли бы нужный подкласс элементарных функций одной действительной переменной?

Цитата:

Если у какого-класса вещественно аналитических функций есть хорошие свойства, то это значит, что вещественная аналитичность на самом деле верна не сама по себе, а является следствием какого-то уравнения (типа гармоничности), и эти хорошие свойства на самом деле следуют из уравнения.

Другими словами, существуют некие условия "гармоничности" для функций одной действительной переменной? И такие условия, на сколько я понял, завязаны на аналитические функции комплексной переменной? Ну и хорошо, давайте оттуда их брать.

[g______d]

Time в сообщении #562901 писал(а):

Могу согласиться с тем, что такого же доказательства как на комплексной плоскости, выделенности "нужного" подкласса $h$-аналитических функций у нас нет. Более того, я выдвигал гипотезу, почему сейчас такого доказательства и не может быть. Это не правомерное (на мой взгляд) использование стандартного определения понятия сходимости двойных чисел, точно такого же как определение сходимости на комплексной плоскости.

Если мы выберем другую топологию, то наряду с упомянутыми мной выше проблемами о том, что ничего не будет определено, будет еще одна проблема. Любая другая топология, которую Вы сможете придумать (в частности, если пытаться навести строгость с "метрикой",
заданной интервалом), будет более слабой, чем стандартная. Сходящихся рядов по новой топологии будет больше. Из сходимости по старнартной топологии будет следовать сходимость по новой. Поэтому класс допустимых функций только расширится. Это не совсем то, чего Вы хотите.

Time в сообщении #562901 писал(а):

Если требования вещественной аналитичности пары функций одной действительной переменной не достаточно, остается просто волевым решением ограничиться функциями соответствующими обычным аналитическим функциям комплексной переменной.

Отлично. Многочлен является достаточно обычной функцией? Если $f$ и $g$ --- два многочлена одной вещественной переменной с вещественными коэффициентами, то давайте вообще в изотропном базисе ограничимся классом функций вида $(f(s),g(t))$. Я утверждаю, что даже для таких функций нет аналога теоремы Коши. Если Вы считаете иначе, то приведите математическое доказательство, причем желательно чтобы все интегралы сходились, и формула работала не только в одной точке. Согласитесь, что это достаточно мягкое требование с моей стороны.

Причина, по которой я это спрашиваю, конечно же, в том, что многочленами тоже можно приближать гладкие функции :)

Time в сообщении #562901 писал(а):

Есть простой прием решить проблему отбора "узкого" класса $h$-аналитических функций, а вопрос поиска более законных способов выделения такого класса отложить "на потом".

Отложили, оставили только многочлены.

Едем дальше. Смотрим статью http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... ngp-13.pdf, стр. 26. В работе, как справедливо отмечено в начале, используется независимость интеграла от пути интегрирования. Это эквивалентно гораздо более сильному условию "голоморфности", чем любые аналоги $h$-аналитичности. Можете здесь выписать это условие для случая $\mathbb R\oplus \mathbb C$? Вы являетесь одним из авторов, это не должно составить сложностей. Мне кажется, что функций, удовлетворяющих этому условию, вообще очень мало.

[Someone]

g______d в сообщении #562919 писал(а):

Любая другая топология, которую Вы сможете придумать (в частности, если пытаться навести строгость с "метрикой",
заданной интервалом), будет более слабой, чем стандартная.

И, по всей видимости, эта топология не будет хаусдорфовой. В результате не будет единственности предела со всеми вытекающими отсюда последствиями.

[Time]

g______d в сообщении #562919 писал(а):

Если мы выберем другую топологию, то наряду с упомянутыми мной выше проблемами о том, что ничего не будет определено, будет еще одна проблема. Любая другая топология, которую Вы сможете придумать (в частности, если пытаться навести строгость с "метрикой",
заданной интервалом), будет более слабой, чем стандартная. Сходящихся рядов по новой топологии будет больше. Из сходимости по старнартной топологии будет следовать сходимость по новой. Поэтому класс допустимых функций только расширится. Это не совсем то, чего Вы хотите.

Между Вашими и моим подходами к имеющейся тут проблеме большая разница. Вы пытаетесь практически в слепую угадать как эту гипотетическую топологию, так и стоящие за ней следствия. Я же оперирую двойными числами и узким классом $h$-аналитических функций над ними точно так же, как первые геометры создавали евклидову геометрию евклидовой плоскости на основании реальных измерений и постепенного все большего раскрытия ее свойств, вплоть до понимания потенциальных и соленоидальных двумерных векторных полей. Для меня эти двойные числа есть очень эффективный измерительный инструмент, примерно как циркуль и линейка для первых землемеров, только еще более удобный, так как кроме линейных операций имеются еще и нелинейные в виде того самого узкого класса $h$-аналитических функций. Есть ли под всем этим нестандартная топология, или нет, не шибко и важно. Числа и функции все равно есть и рано или поздно с этим вопросом будет наведена полная ясность. Если на псевдоевклидовой плоскости естественна не стандартная топология, она гарантированно приведет к тем следствиям, что мы уже и так имеем. А именно: к алгебре двойных чисел, к узкому классу $h$-аналитических функций, к их красивым свойствам, в том числе к наличию производных и независимости результата дифференцирования от напраления. Если Вы правы и топология тут стандартная, то так же ничего страшного. Ни одно из свойств двойных чисел от этого не пострадает. Они есть какие есть..

Цитата:

Отлично. Многочлен является достаточно обычной функцией? Если $f$ и $g$ --- два многочлена одной вещественной переменной с вещественными коэффициентами, то давайте вообще в изотропном базисе ограничимся классом функций вида $(f(s),g(t))$. Я утверждаю, что даже для таких функций нет аналога теоремы Коши. Если Вы считаете иначе, то приведите математическое доказательство, причем желательно чтобы все интегралы сходились, и формула работала не только в одной точке. Согласитесь, что это достаточно мягкое требование с моей стороны.

Вы многого от меня хотите. Обычно со своими соавторами мы работаем в прямо противоположном режиме. Если я высказываю сомнительное для них утверждение, они пробуют доказать обратное, причем, что бы я понял - стараются специально для меня продемонстрировать свою правоту на конкретном частном примере. Как правило все заканчивается нормально. Либо я принимаю правоту оппонента, либо тот соглашается с моим утверждением, но уже на основании формул и доказательств. Так что, предлагаю и тут поступить так же. Возьмите любой многочлен в двойных числах и любой контур не охватывающий сингулярности. Думаю, Вы легко убедитесь, что аналог теоремы Коши тут работает точно так же как и на комплексной плоскости.
Может Вы имели ввиду не теорему Коши, а интегральную формулу Коши? Но и тут можно дейcтвовать так же. С той разницей, что произвольный контур не должен пересекать делители нуля, проходящие через выделенную точку. Такое если и возможно, то только на бесконечности. Их четыре по числу "концов" бесконечных векторов на изотропном конусе двумерного псевдоевклидова пространства-времени. В остальном замкнутый контур может быть любым. то есть, как угодно пересекать все четыре неизотропный квадранта плоскости двойной переменной.

Цитата:

Причина, по которой я это спрашиваю, конечно же, в том, что многочленами тоже можно приближать гладкие функции :)

Конечто можно рассматреть и многочлены.

Цитата:

Едем дальше. Смотрим статью http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... ngp-13.pdf, стр. 26. В работе, как справедливо отмечено в начале, используется независимость интеграла от пути интегрирования. Это эквивалентно гораздо более сильному условию "голоморфности", чем любые аналоги $h$-аналитичности. Можете здесь выписать это условие для случая $\mathbb R\oplus \mathbb C$? Вы являетесь одним из авторов, это не должно составить сложностей. Мне кажется, что функций, удовлетворяющих этому условию, вообще очень мало.

Вы ошибаетесь. Их очень много. Бесконечное количество. Понимаете, я не мыслю теми же категориями что и Вы. Для меня любая истинно аналитическая функция на произвольной поличисловой алгебре ассоциируется с векторным полем, создаваемым точечными или распределенными источниками. Поле вне источников и вихрей гиперболически потенциально и гиперболически соленоидально. Поэтому, если замкнутый контур не охватывает ни одного источника или вихря, интеграл по нему в зависимости от того, что вычисляется поток векторного поля или циркуляция - будет гарантированно равен нулю. Однако если внутрь контура попадает одиночная сингулярность и сам контур не пересекает связанные с нею делители нуля нигде, кроме как на бесконечности, интеграл должен равняться либо обильности источника (при вычислении потока векторного поля), либо мощности вихря (при вычислении циркуляции). Мне очевидно, что векторных полей с такими свойствами бесконечное количество, а значит и функций с соответствующими свойствами в отношении теоремы Коши и интегральной формулы Коши так же. И алгебра $\mathbb R\oplus \mathbb C$ тут ни чем не выделяется. Ну разве тем, что тут легко указываются замкнутые контуры, которые без всяких уходов на бесконечность не пересекают делителей нуля связанных с той или иной одиночной сингулярностью. Это связано с тем обстоятельством, что делители нуля в пространстве с такой алгеброй представляют собой объединение двумерной плоскости и пересекающей ее в одной точке прямой. Вокруг этой прямой можно сколько угодно замкнутых контуров нарисовать, причем нигде не уходящих на бесконечность.

[g______d]

Time в сообщении #563135 писал(а):

Вы многого от меня хотите. Обычно со своими соавторами мы работаем в прямо противоположном режиме. Если я высказываю сомнительное для них утверждение, они пробуют доказать обратное, причем, что бы я понял - стараются специально для меня продемонстрировать свою правоту на конкретном частном примере.

Ну этим Вы роете математический гроб своему журналу :) Если Вы публикуете утверждение, которое претендует на математическую теорему, то бремя доказательства ложится полностью на Вас.

Time в сообщении #563135 писал(а):

Может Вы имели ввиду не теорему Коши, а интегральную формулу Коши? Но и тут можно дейcтвовать так же. С той разницей, что произвольный контур не должен пересекать делители нуля, проходящие через выделенную точку. Такое если и возможно, то только на бесконечности. Их четыре по числу "концов" бесконечных векторов на изотропном конусе двумерного псевдоевклидова пространства-времени.

Да, сорри, я имел в виду формулу Коши для $h$-аналитических функций. С теоремой Коши вопросов нет. В Вашем случае, если она даже и доказана (с чем я до сих пор не согласен), то она при фиксированном контуре имеет смысл только в одной точке. Я (и никто) никогда не признает это аналогом классической формулы Коши. Весь смысл последней в том, что зная функцию на маленьком множестве (контур), мы восстанавливаем ее на большом множестве (область внутри контура). У Вас же большое множество состоит из одной точки.

Кроме того, я предлагаю челлендж: если все-таки будет сформулирован аналог формулы Коши, который по контуру восстанавливает функцию в некоторой области с помощью интеграла типа Коши, я берусь привести контрпример в классе полиномов. Только надо чтобы в аналоге интегралы сходились.

Time в сообщении #563135 писал(а):

Вы ошибаетесь. Их очень много. Бесконечное количество. Понимаете, я не мыслю теми же категориями что и Вы.

Вы читали собственную статью? Какое определение голоморфности там используется? То, которое в статье по ссылке [1], и в котором $n(n-1)$, уравнений где $n$ --- общее число вещественных переменных (т. е. для $\mathbb R\oplus \mathbb C$ будет 6 уравнений). Без этого интеграл будет зависеть от контура, и Вы не сможете деформировать контур в доказательстве. Если Вы отвечаете за собственную статью, выпишите эти уравнения для простейшего случай $\mathbb R\oplus \mathbb C$. Их будет шесть. Вы получите сильно меньшее множество решений, чем даже элементарные функции.

-- 23.04.2012, 23:59 --

Я проделал работу за Вас. Согласно определению [1], которое эквивалентно независимости интеграла от пути интегрирования (что используется у Вас в работе), голоморфные функции на $\mathbb R\oplus \mathbb C$ устроены так: это пара из произвольной гладкой функции первой вещественной переменной и классической голоморфной функции комплексной переменной.

Тут уже совершенно строго. Формула Коши не может быть верной, тот же аргумент с вещественной аналитичностью по первой переменной: правая часть ф-лы Коши (19) по ней вещественно аналитична, а левая нет, т. к. в ней фигурирует функция, являющаяся лишь гладкой. На этот раз все интегралы сходятся без проблем, если контур не задевает делители нуля, и выбор такого контура возможен --- по крайней мере, Вы так пишете.

Статью отзывать будете?

[Time]

g______d в сообщении #563219 писал(а):

Ну этим Вы роете математический гроб своему журналу :) Если Вы публикуете утверждение, которое претендует на математическую теорему, то бремя доказательства ложится полностью на Вас.

Эк Вас все на гробы тянет. Уже второй разглядели. Доказательство мы привели. Полностью. То, что Вы его не принимаете - Ваше право. Но это совсем не означает, что Вы правы в своем утвержении о недоказанности аналога формулы Коши для поличисел с хотя бы одной комплексной алгеброй в прямой сумме.

Цитата:

Да, сорри, я имел в виду формулу Коши для $h$-аналитических функций. С теоремой Коши вопросов нет. В Вашем случае, если она даже и доказана (с чем я до сих пор не согласен), то она при фиксированном контуре имеет смысл только в одной точке. Я (и никто) никогда не признает это аналогом классической формулы Коши. Весь смысл последней в том, что зная функцию на маленьком множестве (контур), мы восстанавливаем ее на большом множестве (область внутри контура). У Вас же большое множество состоит из одной точки.

Вы сейчас о какой из двух статей говорите? Если о той, что с Гарасько, то там нет таких ограничений на контур, которые накладывались в статье по двойным числам с Кокаревым. Уточните пожалуйста.
Если Вы хотите услышать как на плоскости двойной переменной работает аналог того, что Выше Вы связали с замкнутым контуром - могу сказать следующее. Если для двойных чисел Вы знаете функцию на бесконечной, в частности, времениподобной кривой (это аналог контура на комплексной плоскости и аналог Вашего маленького множества), эта функция восстанавливается на большом множестве (вне этой кривой).

Цитата:

Кроме того, я предлагаю челлендж: если все-таки будет сформулирован аналог формулы Коши, который по контуру восстанавливает функцию в некоторой области с помощью интеграла типа Коши, я берусь привести контрпример в классе полиномов. Только надо чтобы в аналоге интегралы сходились.

В статье с Гарасько приведен конкретный пример аналога формулы Коши для алгебры $\mathbb C\oplus \mathbb C$ Приведите пример полиномов, для которых эти формулы не работают.

Цитата:

Вы читали собственную статью? Какое определение голоморфности там используется? То, которое в статье по ссылке [1], и в котором $n(n-1)$, уравнений где $n$ --- общее число вещественных переменных (т. е. для $\mathbb R\oplus \mathbb C$ будет 6 уравнений). Без этого интеграл будет зависеть от контура, и Вы не сможете деформировать контур в доказательстве. Если Вы отвечаете за собственную статью, выпишите эти уравнения для простейшего случай $\mathbb R\oplus \mathbb C$. Их будет шесть. Вы получите сильно меньшее множество решений, чем даже элементарные функции.

Да, условий типа Коши-Римана тут будет ровно шесть. Но по сути они сводятся к тому, что $h$-аналитическая функция такой триплексной переменной строится по аналогии с $h$-аналитической функцией тройной переменной связанной с алгеброй $\mathbb R\oplus \mathbb R\oplus \mathbb R$.
А для последней соответствующие шесть условий в изотропном базисе сводятся к тому, что в конструкции $h$-аналитической функции возникают три вещественно-аналитические функции от одной переменной каждая. Шесть условий аналитичности, в изотропном базисе просто сводятся к тому, что частные производные от этих трех функций по двум отсутствующим в них переменным равны нулю. Для алгебры $\mathbb C\oplus \mathbb C$ аналогичных условий уже 12 и все они для алгебры $\mathbb R\oplus \mathbb R\oplus \mathbb R\oplus \mathbb R$, являющейся ее гиперболическим аналогом, сводятся к существованию в изотропном базисе четырех функций от одной переменной каждая. А эти 12 условий говорят лишь о том, что частные производные для каждой из этих четырех функций по трем остальным координатам равны нулю. Эти размножающиеся условия ровно никак не сокращают число самих $h$-аналитических функций и элементарных функций тут ничем не меньше, чем на комплексной плоскости или в алгебре двойных чисел. Это можно легко проверить. Возьмите любую элементарную аналитическую функцию от комплексных чисел и для каждой можно указать ее аналитический аналог в числах $\mathbb C\oplus \mathbb C$ или в числах $\mathbb R\oplus \mathbb R\oplus \mathbb R\oplus \mathbb R$. И для каждого такого аналога четыре скалярные функции будут удовлетворять 12 условиям типа Коши-Римана. То есть, элементарных аналитических функций тут оказывается чуть больше, чем до дури.. Не смотря на, казалось бы, большое количество ограничений.

-- Вт апр 24, 2012 01:35:45 --

g______d в сообщении #563219 писал(а):

Я проделал работу за Вас.

Работа пока не качественная и принята быть не может.

Цитата:

Согласно определению [1], которое эквивалентно независимости интеграла от пути интегрирования (что используется у Вас в работе), голоморфные функции на устроены так: это пара из произвольной гладкой функции первой вещественной переменной и классической голоморфной функции комплексной переменной.

Мы же уже разбирались с похожим вопросом. Не могут функции одной вещественной переменной быть просто гладкими. Как минимум они должны быть вещественно-аналитичными и Вы меня даже почти убедили, что на них накладываются даже более жесткие ограничения. Почему сейчас Вы вернулись к произвольным гладким функциям?

Цитата:

Тут уже совершенно строго. Формула Коши не может быть верной, тот же аргумент с вещественной аналитичностью по первой переменной: правая часть ф-лы Коши (19) по ней вещественно аналитична, а левая нет, т. к. в ней фигурирует функция, являющаяся лишь гладкой.

Это говорит лишь о том, что функция одной вещественной переменной в "правильной" конструкции $h$-аналитических функций не может быть просто гладкой. Как минимум - вещественно-аналитической. Может еще более узко очерченной.(Но это Вы мне пока никак не доказали, только обозначили такую возможность.)

Цитата:

На этот раз все интегралы сходятся без проблем, если контур не задевает делители нуля, и выбор такого контура возможен --- по крайней мере, Вы так пишете.Статью отзывать будете?

Я уже предлагал Вам приемлимый алгоритм действий, если хотите официальных последствий своей критике. Напишите заметку по соответствующей проблеме и пришлите в журнал. После рецензирования она будет напечатана и мой соавтор и я попробуем защитить свои утверждения. Если не сможем и это признают математики, статью отзовем или внесем исправления. Если не захотите сами
светиться, можете попросить подписаться любого студента, который разделит Вашу точку зрения и готов будет рискнуть собственной репутацией публикуя заметку о предмете,в котором еще не разобрался..

[g______d]

Для функций двойной переменной (статья с Кокаревым) у Вас формула Коши, если она и есть, то работает только для одной точки. Можно ли это назвать аналогом?

Если будет доказательство, в котором будет доказано существование всех интегралов в обычном смысле, и которое при фиксированном контуре работает только для одной точки, то я берусь привести пример полинома, для которого утверждение неверно.

Дальнейшее говорю по статье с Гарасько.

Условие голоморфности для $\mathbb R\oplus \mathbb C$ --- это гладкая функция вещественной переменной по первой компоненте и голоморфная функция комплексной переменной по второй.

Условие голоморфности для $\mathbb R\oplus\mathbb R\oplus \mathbb R$ --- это три гладкие вещественные функции, каждая от своей вещественной переменной. Если хотите, проверьте. Условия разные, потому что умножения в алгебрах разные.

Теперь дальше. Можно даже не говорить про вещественную аналитичность. Я утверждаю, что если в алгебре есть вещественная компонента, то при интегрировании по замкнутому контуру голоморфной функции переменной из этой алгебры все компоненты интеграла, отвечающие вещественным компонентам алгебры, будут просто равны нулю. Т. е. ни о каком восстановлении значения функции речь не идет. Потеряются все ее вещественные компоненты.

Что касается комплексных компонент, то они --- да, восстановятся, но потому, что интеграл можно брать отдельно в каждой компоненте, и в ней это будет классическая формула Коши из ТФКП. Доказывается в 1 строчку.

-- 24.04.2012, 01:44 --

Time в сообщении #563244 писал(а):

Мы же уже разбирались с похожим вопросом. Не могут функции одной вещественной переменной быть просто гладкими. Как минимум они должны быть вещественно-аналитичными и Вы меня даже почти убедили, что на них накладываются даже более жесткие ограничения. Почему сейчас Вы вернулись к произвольным гладким функциям?

Time в сообщении #563244 писал(а):

Это говорит лишь о том, что функция одной вещественной переменной в "правильной" конструкции $h$-аналитических функций не может быть просто гладкой. Как минимум - вещественно-аналитической. Может еще более узко очерченной.(Но это Вы мне пока никак не доказали, только обозначили такую возможность.)

Теорема в статье с Гарасько формулируется для всех функций, удовлетворяющих определению из [1]. Для выполнимости последнего достаточно лишь гладкости вещественных компонент и голоморфности комплексных. Впрочем, см. выше: какой бы хорошей ни была функция этой вещественной компоненты, интеграл типа Коши ее просто убьет. Доказательство нужно?

[Time]

g______d в сообщении #563252 писал(а):

Для функций двойной переменной (статья с Кокаревым) у Вас формула Коши, если она и есть, то работает только для одной точки. Можно ли это назвать аналогом?

Пусть это будет на нашей совести. К тому же тут я сразу сказал, что меня самого не очень устраивает полученный при принятых правилах построения контура результат. JОднако, каким бы он не был "недоделанным" он есть, а называть ли это аналогом формулы Коши для плоскости двойной переменной, или полуаналогом, или еще как - не принципиально.

Цитата:

Условие голоморфности для $\mathbb R\oplus \mathbb C$ --- это гладкая функция вещественной переменной по первой компоненте и голоморфная функция комплексной переменной по второй.

Условие голоморфности для $\mathbb R\oplus\mathbb R\oplus \mathbb R$ --- это три гладкие вещественные функции, каждая от своей вещественной переменной. Если хотите, проверьте. Условия разные, потому что умножения в алгебрах разные.

Я не говорил об одинаковости условий. Я говорил, что между одними "хорошими" над первой переменной и другими "хорошими" функциями над второй переменной может быть установлено примерно такое же соответствие, как между аналитическими функциями комплексной переменной и "хорошими" функциями двойной переменной. Если для вещественных функций двойной или тройной переменной в изотропном базисе требовать только гладкость, могу заранее согласиться, что будут проблемы. Ваши построения только подтверждают это. Я не буду утверждать, что полученные с Гарасько аналоги формулы Коши справедливы для вашего предложения строительства голоморфных функций путем использования гладких функций от одной вещественной переменной каждая. Я буду только отстаивать ту точку зрения, что аналоги формулы Коши имеются лишь для более узкого класса "хороших" функций поличисловой переменной. И для двойных чисел так же. Но это будет не тот вариант, что приведен в статье с Кокаревым. Нужно еще поработать над правилом "правильного" построения произвольных замкнутых контуров тут или же отказаться от них вовсе, заменив на бесконечные времениподобные кривые.

Цитата:

Что касается комплексных компонент, то они --- да, восстановятся, но потому, что интеграл можно брать отдельно в каждой компоненте, и в ней это будет классическая формула Коши из ТФКП.

Посмотрите внимательно конец статьи с Гарасько. Формулы (26) и (27), действительно, являются полными аналогами классической формулы Коши. Однако есть еще и формулы (28) и (29). Они не совпадают с формулой Коши на комплексной плоскости и содержат делители нуля. Будете настаивать, что в соответствующем пространстве не существует замкнутых контуров, которые приводят именно к справедливости двух последних формул? Если да, не забудте этот момент отразить в критической заметке в наш журнал, если надумаете воспользоваться моим советом и написать..

Цитата:

Теорема в статье с Гарасько формулируется для всех функций, удовлетворяющих определению из [1]. Для выполнимости последнего достаточно лишь гладкости. Впрочем, см. выше: какой бы хорошей ни была функция этой вещественной компоненты, интеграл типа Коши ее просто убьет. Доказательство нужно?

Могу согласиться лишь с поспешностью использования одной гладкости. Докажите, что интеграл типа Коши убивает на той же плоскости двойной переменной все хорошие свойства функции, получаемой по обсуждавшемуся ранее соответствию с аналитическими функциями комплексной переменной.

И такой важный вопрос. Допустим Вы правы и никаких аналогов формулы Коши не существует ни для поличисел над вещественными алгебрами, ни над комплексными. Каким образом это дискредитирует сами алгебры, функции над ними, а тем более связанное с ними финслерово прсотранство? В пространстве Минковского, вон, вообще никакой алгебры нет, не то что каких бы то ни было функций. И ничего, живут себе физики. Это я не к тому, что сдаю свое убеждение в существовании аналогов формулы Коши на поличислах, это что бы лучше понять, с чего это Вы так бъетесь именно за требование убрать даже мысли о таком обобщении для двойной плоскости и ее более многомерных расширений?

[g______d]

Time в сообщении #563259 писал(а):

Докажите, что интеграл типа Коши убивает на той же плоскости двойной переменной все хорошие свойства функции, получаемой по обсуждавшемуся ранее соответствию с аналитическими функциями комплексной переменной.

Про плоскость двойной переменной я в этот момент не говорил.

Имеются 3 варианта, которые могут быть в Вашей статье с Гарасько:

1. В алгебре есть только вещественные компоненты. Тогда, если формула Коши и есть, то она верна только в одной точке. Правильно я это понял? Я, впрочем, по-прежнему считаю, что ее нет, но не считаю нужным опровергать что-то, что верно максимум в одной точке.

2. В алгебре есть только комплексные компоненты (пусть их $n$ штук). Тогда интеграл распадается на $n$ интегралов, каждый по своей переменной, и для каждого применяется классическая формула Коши. Направление обхода в соответствующей компоненте индуцируется направлением исходного контура. Там действительно могут меняться знаки, т. к. возможных ориентаций $2^n$. Но я по-прежнему считаю, что это тривиально и доказывается в 1 строчку.

3. Есть и вещественные, и комплексные компоненты. Давайте на примере $\mathbb R\oplus \mathbb C$. Любая голоморфная функция в этой алгебре имеет вид $(f(x),g(z))$, где $f$ --- вообще говоря, просто гладкая функция, но, если хотите, сузим класс до многочленов. $g$ --- классическая голоморфная функция. Пусть контур параметризуется $t$ и выглядит как $(x(t),z(t))$, $0\le t\le T$, $x(0)=x(T)$, $z(0)=z(T)$ Пусть есть точка $(x_0,z_0)$. Наконец, пусть контур таков, что функция $\left(\frac{f(x)}{x-x_0},\frac{g(z)}{z-z_0}\right)$ голоморфна в его окрестности (т. е. контур не проходит через прямую $z=z_0$ и плоскость $x=x_0$). Вычислим интеграл. Он будет равен

$$ \left(\int\limits_{0}^T \frac{f(x(t))}{x(t)-x_0}\dot{x}(t)\,dt,\int\limits_{0}^T \frac{g(z(t))}{z(t)-z_0}\dot{z}(t)\,dt\right) $$

Я утверждаю, что первая компонента этого интеграла равна нулю (а вторая с точностью до константы равна $g(z_0)$). Действительно, пусть $h(x)=\frac{f(x)}{x-x_0}$. Она определена и гладка для нужных нам $x$ (или даже лучше, если $f$ многочлен). Получаем $\int\limits_0^T h(x(t))\dot{x}(t)\,dt$. Пусть, наконец, $\eta(x)=\int\limits_0^x h(y)\,dy$. Тогда $\eta'(x)=h(x)$. Имеем
$\int\limits_0^T \eta'(x(t))\dot{x}(t)\,dt=\int\limits_0^T \frac{d}{dt}(\eta(x(t)))\,dt=\eta(x(T))-\eta(x(0))=0$, т. к. $x(0)=x(T)$.

-- 24.04.2012, 03:10 --

Т. е. "формула Коши" не восстанавливает значения вещественных компонент функции.

-- 24.04.2012, 03:36 --

Time в сообщении #563259 писал(а):

И такой важный вопрос. Допустим Вы правы и никаких аналогов формулы Коши не существует ни для поличисел над вещественными алгебрами, ни над комплексными. Каким образом это дискредитирует сами алгебры, функции над ними, а тем более связанное с ними финслерово прсотранство? В пространстве Минковского, вон, вообще никакой алгебры нет, не то что каких бы то ни было функций. И ничего, живут себе физики.

Я считаю, что связь именно такой алгебры, как у Вас, с физикой и с геометрией преувеличена. Но, поскольку я не могу формализовать это утверждение, я не хотел бы об этом сейчас спорить.

В некотором смысле, если хотите, "отсутствие алгебры" (а тем более коммутативной и тривиально устроенной) как раз говорит о сложной и содержательной структуре.

Time в сообщении #563259 писал(а):

Это я не к тому, что сдаю свое убеждение в существовании аналогов формулы Коши на поличислах, это что бы лучше понять, с чего это Вы так бъетесь именно за требование убрать даже мысли о таком обобщении для двойной плоскости и ее более многомерных расширений?

Ну, мне кажется, что математическая часть Ваших построений либо неверна, либо тривиальна. Начинаю с того, в чем легче разобраться.

[Time]

g______d в сообщении #563264 писал(а):

Про плоскость двойной переменной я в этот момент не говорил.

Поскольку Вы утверждаете об отсутствии аналога фомулы Коши на плоскости двойной переменной, а я настаиваю на том, что он там есть и при этом не совсем тот, что получен в статье с Кокаревым, предлагаю временно сосредоточиться на этом частном моменте. Тройные, триплексные и прочие поличисла никуда не денутся. Тем более, если Вам удастся строго показать, что те варианты, о которых я говорю в отношении двойных чисел и теоремы Коши на них не работают - я априори соглашусь, что тем более не имеет оснований говорить о чем-то хорошем в поличислах бОльших размерностей.
Попробую сжато сформулировать ряд положений, в работоспособности которых на плоскости двойной переменной я уверен, а Вы можете либо согласиться с ними, либо нет. В последнем случае я бы просил приведения доказательств.
1. Алгебре двойных чисел соответствует геометрия псевдоевклидовой плоскости, точно так же как алгебре комплексных чисел соответствует геометрия евклидовой плоскости.

2. Поскольку на плоскости двойной переменной имеются делители нуля, ожидать буквального соответствия со всеми известными хорошими свойствами комплексных чисел нельзя. Однако можно надеяться, что с учетом естественной специфики делителей нуля и их тесного соответствия с векторами светового конуса двумерного пространства Минковского различия с комплексным случаем окажутся не катастрофическими, а наоборот, будут просто отражать разницу в спецификах физики двумерного евклидова пространства и двумерного пространства-времени.
Для меня, пожалуй, этот пункт самый главный. Так как многие из следущих утверждений основываются на ожидании выполнимости именно этого качества.

3. По аналогии с комплексной плоскостью на плоскости двойной переменной можно рассматривать пары взаимноортогональных векторных полей, причем описывающие их $h$-комплексные потенциалы можно (и нужно, но пока не ясны все основания последнего) взаимнооднозначно связывать с комплексными потенциалами евклидовой плоскости, задаваемыми обычными аналитическими функциями. Мы видим, что множество конформных преобразований плоскости двойной переменной шире, чем множество конформных преобразований комплексной плоскости, но специально и осознанно ограничиваем себя только полными аналогами, пользуясь установленными правилами перехода от аналитических функций комплексных переменной к "хорошим" $h$-аналитическим функциям двойной. Что делать с "лишними" $h$-голоморфными функциями разберемся потом, тогда и если, хотя бы этот "хороший" подкласс продемонстрирует некие замечательные свойства, например, обеспечит гиперболический аналог формулы Коши на плоскости двойной переменной.

4. Поскольку в теории поля на комплексной плоскости фундаментальную роль играют векторные поля одиночного точечного источника и точечного вихря, связанных с центральносимметричным решением двумерного уравнения Лапласа, мы предполагаем, что на плоскости двойной переменной аналогичные векторные поля так же должны играть фундаментальную роль. Более того, выдвигается утверждение, что функция двойной переменной задающая $h$-комплексный потенциал такого псевдоевклидова центральносимметричного фундаментального поля связана с логарифмической функцией от двойных чисел. При этом как и на комплексной плоскости поле гиперболического точечного источника связано с действительным множителем перед логарифмом, а поле гиперболического точечного вихря - с чисто мнимым в гиперболическом смысле множителем.

5. Гиперболические точечные источники и гиперболические точечные вихри являются сингулярностями векторных полей на плоскости двойной переменной и при формулировке теорем на счет соответствующих полей, необходимо следить за тем, попадают ли такие сингулярности в рассматриваемые замкнутые контуры или нет. При этом необходимо учитывать, что точечные сингулярности евклидовой плоскости действительно являются точками, тогда как их гиперболические аналоги имеют сингулярность не только в точке, где находится источник или вихрь, но и в связанных с этой точкой паре изотропных прямых. В связи с этим при формулировках теорем, опирающихся на понятие произвольного контура приходится следить не только за тем, то бы контур как на евклидовой плоскости не пересекал единственную особую точку, но и нигде (кроме как в бесконечности) не пересекал пар сингулярных прямых.

6. В связи с предыдущим пунктом, если о точечном источнике на евклидовой плоскости можно говорить как о сосредоточенном именно в точке, то источник на псевдоевклидовой плоскости как бы размазан по двум проходящим через точку изотропным прямым. Именно поэтому теоремы на плоскости двойной переменной, в которых функции имеют "точечные" особенности и фигурируют замкнутые контуры пересекающие связанные с этими особыми точками сингулярные прямые - не имеют и не могут иметь прямого отношения к законам сохранения. Вычисление интегралов вдоль замкнутого контура, по сути, сводится к вычислению, либо потока вектора от суммы сингулярностей находящихся внутри контура, либо циркуляции от суммы вихрей. Гиперболические источники и вихри так устроены самой природой псевдоевклидовой плоскости и функции логарифм на ней, что их часть сама собой выходит за контур не обходящий их на бесконечности и не вся обильность такой сингулярности автоматически учитывается при вычислении потоков и циркуляций вдоль контура. Интегралы в теореме Коши и в интегральной формуле Коши (если последняя есть на плоскости двойной переменной) должны иметь связь с этим предполагаемым геометрическим и физическим смыслом.

7. В статье с Кокаревым все варианты контуров построены таким образом, что пересекают делители нуля не в их бесконечностях, а где-то "посредине", тем самым, при вычислении интегралов типа Коши вдоль ТАК замкнутых контуров результат интегрирования зависит не столько от формы кривой в неизотропных областях, сколько от того, где именно контур пересекает четыре делителя нуля. Даже без всяких проверок на формулах, могу предсказать, что результат интегрирования вдоль таких произвольных контуров ничего хорошего и не может принести. Что бы избежать вывода об отсутствии на плоскости двойной переменной аналогов интегральной формулы Коши, необходимо научиться правильно строить произвольные "замкнутые" контуры содержащие одну или несколько "точечных" сингулярностей. Я утверждаю, что разумные правила для этого предложить можно и основное внимание нужно обратить, на то, что бы контур пересекал сингулярные прямые точечных источников и вихрей в их бесконечностях. Только тогда контур охватывает ВСЮ обильность заключаемых в него вихрей и источников и потому в этом случае результат интегрирования не должен оказаться зависящим от формы контура. Только от суммарной обильности охватываемых этим контуром гиперболических источников и вихрей, естественно вместе с их изотропными "хвостами".

Давайте попробуем тут разобраться. Статья с Гарсько немного подождет.

Цитата:

Ну, мне кажется, что математическая часть Ваших построений либо неверна, либо тривиальна. Начинаю с того, в чем легче разобраться.

Вот вот. Легче всего попробовать разобраться в самом простом. В данном случае это плоскость двойной переменной и "хорошие" векторные поля на ней..

[g______d]

Time в сообщении #563305 писал(а):

Давайте попробуем тут разобраться. Статья с Гарсько немного подождет.

Понимаете, "будет работать" и "не будет работать" --- это пустые слова. Если Вы считаете, что будет работать --- доказывайте (в текущей версии доказательства я считаю, что все интегралы расходятся даже для многочленов, поэтому это не математическое доказательство --- это про статью с Кокаревым). Если нет доказательства --- то все имеют право считать, что не работает. Так устроена математика.

По существу дела --- можно, я не буду отвечать по 7 пунктам, поскольку претензия у меня на самом деле одна? Она состоит в следующем. Я ее уже писал. Прошу эту претензию явно прокомментировать, она явная и короткая.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Основное приложение классической комплексной формулы Коши --- в том, что зная функцию на маленьком одномерном множестве (контур), мы восстанавливаем ее на большом двумерном множестве (область внутри контура).

Результат, который заявлен у Вас, ровно наоборот --- мы знаем функцию на контуре, а восстанавливаем ее только в одной точке. Для другой точки придется менять контур. Поэтому в этом смысле "аналога" здесь нет --- по крайней мере, с точки зрения приложений (которые наверняка Вас интересуют в первую очередь).
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

По поводу узости класса функций --- я думаю, что спор можно прекратить, т. к. я согласен все функции считать многочленами.

Наконец, по поводу статьи с Гарасько. Я считаю, что я написал математически строгий текст, из которого следует, что результаты этой статьи верны только в случае $H_n(\mathbb C)$ и в этом случае тривиальны. Я доказал, что если в алгебре есть хотя бы одна вещественная компонента и хотя бы одна комплексная (в этом случае контуры не пересекают делители нуля), то Ваш аналог формулы Коши не может быть верным.

[В.О.]

Информация к размышлению.
Вот еще одна статья тех же авторов http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... /11-04.pdf
В формуле (22) потерян знак модуля под интегралом. В третьем слева члене он есть, а в последнем его нет.
Эта статья обсуждалась на этом форуме год назад. Ошибка указана автору. Он никак не прореагировал.

[Time]

В.О. в сообщении #563337 писал(а):

Информация к размышлению.
Вот еще одна статья тех же авторов http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... /11-04.pdf
В формуле (22) потерян знак модуля под интегралом. В третьем слева члене он есть, а в последнем его нет.
Эта статья обсуждалась на этом форуме год назад. Ошибка указана автору. Он никак не прореагировал.

Вы путаете последствия применения символа модуля для векторов в пространствах с квадратичным типом метрической функции и с кубической. В последнем случае это понятие связано не с обычной, а с (квази)нормой. См. формулу (4) той же статьи. Или там так же скажете, что потерян знак модуля?

[В.О.]

Называете две вертикальных палочки как угодно. Все равно, они в формуле (22) потеряны.
Я не буду вступать с вами ни в какие дискуссии. В бесплодности сего занятия я давно убедился.

[Time]

Так и мне дискуссии с Вами совершенно не интересны. Вы обвинили меня в отсутствии реакции, якобы, на крутую ошибку в конкретной статье. Я среагировал. Или нужно было просто проигнорировать? Вы разберитесь сначала сами, чего именно хотите..