2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два солдата и башня
Сообщение25.02.2007, 11:17 


25/02/07
16
Московский Институт Электроники и Математики
Два часовых ходят вдоль внутренней стены круглой башни с бойницами по одинаковой траектории в одном направлении с постоянными скоростями, отличающимися в 2 раза. Какова должна быть наименьшая длина бойниц, чтобы всегда хотя бы один часовой был рядом с бойницей?

Мысли: если представить траектории движения часовых как функцию угла от времени, то достаточно найти множество углов, образом которых будет полный период обращения самого медленного часового. Но как это найти :?:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.02.2007, 06:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Дык, смотря сколько бойниц. Их общая длина с необходимостью должна быть не меньше 2/3 окружности, но этого и достаточно, если теперь их распределить вдоль окружности равномерно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.02.2007, 10:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
bot писал(а):
Их общая длина с необходимостью должна быть не меньше 2/3 окружности...

Можно и меньше. Например, так: возьмём точку встречи солдат за 0, длину окружности за 1.

1-я бойница начинается в точке -1/8, заканчивается в точке 1/64. Длина = 9/64.
2-я --- от 1/32 до 1/16. Длина = 1/32.
3-я --- от 1/8 до 1/4. Длина = 1/8.
4-я --- от 3/8 до 7/16. Длина = 1/16.
5-я --- от 1/2 до 3/4. Длина = 1/4.
Итого: общая длина = 39/64 < 2/3.
Чтобы убедиться, что хотя бы один солдат всегда будет находиться около бойницы, проще всего нарисовать рисунок (я в графике не силён, поэтому развернул окружность):
Изображение утеряно (http://img144.**invalid link**/img144/9072 ... werwd0.gif)
и убедиться, что их объединение даёт всю окружность.
Видно, что есть ещё довольно много резервов для уменьшения общей длины бойниц (пересечения графиков).
Если увеличить число бойниц до бесконечности, я могу уменьшить оценку до 9/16, да и у этого варианта также есть резервы. Почти уверен, что существует хитрое расположение (с бесконечным числом бойниц), лебегова мера которого равна 1/2 (меньше, очевидно, нельзя).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.02.2007, 10:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Собссно речь и была о постановке:
bot писал(а):
Дык, смотря сколько бойниц.

Если не исключать случай произвольного их числа (в том числе и случай одной бойницы) то меньше 2/3 очевидно не получится.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.02.2007, 13:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Да, я тоже долго думал над постановкой. И эта фраза:
Yntz писал(а):
Мысли: если представить траектории движения часовых как функцию угла от времени, то достаточно найти множество углов, ...

натолкнула меня на мысль, что бойница может находиться или не находиться в любой точке окружности, независимо от того, находится ли другая бойница в какой-нибудь другой точке. Т.е. нужно найти именно множество C точек бойниц на окружности (измеримое, по крайней мере, по Лебегу) такое, что объединение C, D и E, где D получается из C сжатием по углу в 2 раза, а E получается из D поворотом на 180 градусов, покрывает всю окружность, имеющее при этих условиях наименьшую возможную меру.
Можно ещё переформулировать так: найти наименьшее (в смысле меры) измеримое подмножество C отрезка [0,1], такое, что для всех x из этого отрезка либо x, либо 2x, либо (2x-1) принадлежит C.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group