Два солдата и башня

[Yntz]

Два часовых ходят вдоль внутренней стены круглой башни с бойницами по одинаковой траектории в одном направлении с постоянными скоростями, отличающимися в 2 раза. Какова должна быть наименьшая длина бойниц, чтобы всегда хотя бы один часовой был рядом с бойницей?

Мысли: если представить траектории движения часовых как функцию угла от времени, то достаточно найти множество углов, образом которых будет полный период обращения самого медленного часового. Но как это найти

[bot]

Дык, смотря сколько бойниц. Их общая длина с необходимостью должна быть не меньше 2/3 окружности, но этого и достаточно, если теперь их распределить вдоль окружности равномерно.

[worm2]

bot писал(а):

Их общая длина с необходимостью должна быть не меньше 2/3 окружности...

Можно и меньше. Например, так: возьмём точку встречи солдат за 0, длину окружности за 1.

1-я бойница начинается в точке -1/8, заканчивается в точке 1/64. Длина = 9/64.
2-я --- от 1/32 до 1/16. Длина = 1/32.
3-я --- от 1/8 до 1/4. Длина = 1/8.
4-я --- от 3/8 до 7/16. Длина = 1/16.
5-я --- от 1/2 до 3/4. Длина = 1/4.
Итого: общая длина = 39/64 < 2/3.
Чтобы убедиться, что хотя бы один солдат всегда будет находиться около бойницы, проще всего нарисовать рисунок (я в графике не силён, поэтому развернул окружность):
Изображение утеряно (http://img144.**invalid link**/img144/9072 ... werwd0.gif)
и убедиться, что их объединение даёт всю окружность.
Видно, что есть ещё довольно много резервов для уменьшения общей длины бойниц (пересечения графиков).
Если увеличить число бойниц до бесконечности, я могу уменьшить оценку до 9/16, да и у этого варианта также есть резервы. Почти уверен, что существует хитрое расположение (с бесконечным числом бойниц), лебегова мера которого равна 1/2 (меньше, очевидно, нельзя).

[bot]

Собссно речь и была о постановке:

bot писал(а):

Дык, смотря сколько бойниц.

Если не исключать случай произвольного их числа (в том числе и случай одной бойницы) то меньше 2/3 очевидно не получится.

[worm2]

Да, я тоже долго думал над постановкой. И эта фраза:

Yntz писал(а):

Мысли: если представить траектории движения часовых как функцию угла от времени, то достаточно найти множество углов, ...

натолкнула меня на мысль, что бойница может находиться или не находиться в любой точке окружности, независимо от того, находится ли другая бойница в какой-нибудь другой точке. Т.е. нужно найти именно множество C точек бойниц на окружности (измеримое, по крайней мере, по Лебегу) такое, что объединение C, D и E, где D получается из C сжатием по углу в 2 раза, а E получается из D поворотом на 180 градусов, покрывает всю окружность, имеющее при этих условиях наименьшую возможную меру.
Можно ещё переформулировать так: найти наименьшее (в смысле меры) измеримое подмножество C отрезка [0,1], такое, что для всех x из этого отрезка либо x, либо 2x, либо (2x-1) принадлежит C.