Значение для ряда от дзета-функции Римана

[RIP]

В каком смысле не совсем верно?

[juna]

Вместо нового поста я ошибочно поправил старый.

[RIP]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k(mk+1)}=m-\sum_{a=1}^{m-1}(1-\exp(-\frac{2\pi ia}m))\log(1-\exp(\frac{2\pi ia}m))$$

Левая и правая часть не сходятся на численных примерах. Пока не могу понять, где именно ошибка.

А для какого $m$, например, не сходится?
Может, берется неправильная ветвь логарифма?

[juna]

Все верно. Лечится перезапуском Mathcad - утром считал одно, вечером тот же самый документ - другое (вот и доверяй численным примерам после этого ).
Если бы пси функция хоть раз стала алгебраическим числом
Можно получить бесконечно много представлений постоянной Эйлера, но все они вряд ли помогают для доказательства его трансцендентности (не удается свернуть к логарифму от алгебраического числа).

[Руст]

Если интересует транцендентность постоянной Эйлера, то примите на веру, что оно транцендентно как и любое число за исключением счётного числа алгебраических.
Вряд ли это докажут или опровергнут в ближайшее сто лет и вряд ли оно имеет значение для нормальной теории чисел.

[juna]

Вероятность ткнуть в трансцендентное, конечно, почти единица. Насчет ценности для нормальной теории чисел – не знаю. Мне просто интересно.
Вероятно все константы для выражения $\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n)-\int\limits_{1}^{\infty}f(x)dx$ трансцендентны, где $f(n)$ - убывающая функция. Они также легко выражаются через дзета функции или $\epsilon(n)=\zeta(n)-1$. Возникает также гипотеза, что все $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{p(n) \cdot \epsilon(n)}{q(n)}$, когда $\frac{p(n)}{q(n)}$ несократимая дробь, трансцендентны.

[Руст]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Вероятность ткнуть в трансцендентное, конечно, почти единица. Насчет ценности для нормальной теории чисел – не знаю. Мне просто интересно.
Вероятно все константы для выражения $\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n)-\int\limits_{1}^{\infty}f(x)dx$ трансцендентны, где $f(n)$ - убывающая функция. Они также легко выражаются через дзета функции или $\epsilon(n)=\zeta(n)-1$. Возникает также гипотеза, что все $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{p(n) \cdot \epsilon(n)}{q(n)}$, когда $\frac{p(n)}{q(n)}$ несократимая дробь, трансцендентны.

Никогда не надо говорить все. Пример: Разность между суммой и интегралом непрерывно зависит от a для функции $f(x)=\frac{1}{x(x+a)}$, поэтому можно подобрать a, когда оно рациональное.

[juna]

Пока пытался найти для вашей функции $\frac{1}{(x+1)(x+3)}$ величину $\frac{5}{12}-\ln(\sqrt{2})$, вы изменили пост.
А можно ли сделать это при алгебраическом $a$?