Руст писал(а):
Да. Осталось только выразить это через х и увидеть, что exp(x) алгебраическое число. Воспользовавшись теоремой Гельфонда получаем, что х трансцендентно.
А кто такой

?
Теорема Гельфонда- Шнайдера, думаю, здесь мало поможет. Но поможет теорема Бейкера.
Теорема. Пусть

- ненулевые алгбераические числа,

- произвольные фиксированные значения логарифмов. Тогда если

линейно независимы над полем рациональных чисел, то

линейно независимы над полем алгебраических чисел.
Добавлено спустя 15 минут 8 секунд:Руст писал(а):
Представляем cумму

Это немного неверно
Левая часть больше правой на

, т.е.
Добавлено спустя 1 час 4 минуты 52 секунды:
И в выражении

ошибочка
Добавлено спустя 55 минут 52 секунды:
Если я нигде не нарвал (а я обязательно где-то ошибился, как всегда), то
Воспользуемся тем, что тригонометрические функции от угла вида

, где

- алгебраические числа.
Выберем среди чисел

максимальное количество линейно независимых над

и выразим все через них. Прибавив к ним число

, получим по-прежнему линейно независимую над

систему. Применив к ней теорему Бейкера, получим, что искомая сумма - трансцендентное число.