2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение26.02.2007, 10:41 
Аватара пользователя
В каком смысле не совсем верно?

 
 
 
 
Сообщение26.02.2007, 10:51 
Аватара пользователя
Вместо нового поста я ошибочно поправил старый.

 
 
 
 
Сообщение26.02.2007, 11:12 
Аватара пользователя
Артамонов Ю.Н. писал(а):
$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k(mk+1)}=m-\sum_{a=1}^{m-1}(1-\exp(-\frac{2\pi ia}m))\log(1-\exp(\frac{2\pi ia}m))$$
Левая и правая часть не сходятся на численных примерах. Пока не могу понять, где именно ошибка.

А для какого $m$, например, не сходится?
Может, берется неправильная ветвь логарифма?

 
 
 
 
Сообщение26.02.2007, 17:18 
Аватара пользователя
Все верно. Лечится перезапуском Mathcad - утром считал одно, вечером тот же самый документ - другое (вот и доверяй численным примерам после этого :D ).
Если бы пси функция хоть раз стала алгебраическим числом :cry:
Можно получить бесконечно много представлений постоянной Эйлера, но все они вряд ли помогают для доказательства его трансцендентности (не удается свернуть к логарифму от алгебраического числа).

 
 
 
 
Сообщение26.02.2007, 17:30 
Если интересует транцендентность постоянной Эйлера, то примите на веру, что оно транцендентно как и любое число за исключением счётного числа алгебраических. :D
Вряд ли это докажут или опровергнут в ближайшее сто лет и вряд ли оно имеет значение для нормальной теории чисел. :D

 
 
 
 
Сообщение26.02.2007, 21:16 
Аватара пользователя
Вероятность ткнуть в трансцендентное, конечно, почти единица. Насчет ценности для нормальной теории чисел – не знаю. Мне просто интересно.
Вероятно все константы для выражения $\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n)-\int\limits_{1}^{\infty}f(x)dx$ трансцендентны, где $f(n)$ - убывающая функция. Они также легко выражаются через дзета функции или $\epsilon(n)=\zeta(n)-1$. Возникает также гипотеза, что все $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{p(n) \cdot \epsilon(n)}{q(n)}$, когда $\frac{p(n)}{q(n)}$ несократимая дробь, трансцендентны.

 
 
 
 
Сообщение26.02.2007, 21:23 
Артамонов Ю.Н. писал(а):
Вероятность ткнуть в трансцендентное, конечно, почти единица. Насчет ценности для нормальной теории чисел – не знаю. Мне просто интересно.
Вероятно все константы для выражения $\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n)-\int\limits_{1}^{\infty}f(x)dx$ трансцендентны, где $f(n)$ - убывающая функция. Они также легко выражаются через дзета функции или $\epsilon(n)=\zeta(n)-1$. Возникает также гипотеза, что все $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{p(n) \cdot \epsilon(n)}{q(n)}$, когда $\frac{p(n)}{q(n)}$ несократимая дробь, трансцендентны.

Никогда не надо говорить все. Пример: Разность между суммой и интегралом непрерывно зависит от a для функции $f(x)=\frac{1}{x(x+a)}$, поэтому можно подобрать a, когда оно рациональное.

 
 
 
 
Сообщение26.02.2007, 21:46 
Аватара пользователя
Пока пытался найти для вашей функции $\frac{1}{(x+1)(x+3)}$ величину $\frac{5}{12}-\ln(\sqrt{2})$, вы изменили пост.
А можно ли сделать это при алгебраическом $a$?

 
 
 [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group