например, призрак теоремы Вейерштрасса бродит по всей книге, хотя теорема не только не доказывается, но даже и не приводится.
Какой именно теоремы Вейерштрасса?
В тексте несколько раз ссылаются на теорему Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами. Но сама по себе эта теорема явным образом даже не формулируется и тем более не доказывается (точнее, формально выводится как следствие теоремы Фейера, но лишь в конце книжки, когда уже, откровенно говоря, поздно). Это вот что означает: подразумевается, что эта теорема относится к основной части анализа и читатель её уже знает.
Тем более не формулируется отдельно другая теорема Вейерштрасса (именно она относится к предмету здешнего разговора) -- об ограниченности функции, непрерывной на компакте. Тем более -- поскольку эта теорема гораздо проще и гораздо фундаментальнее предыдущей для
математического анализа, пусть даже и функций нескольких переменных.
Всё это вполне понятно: невозможно в курсе
функционального анализа дублировать курс
математического. Авторы как раз и исходят из того, что читатель достаточно подготовлен, и на многие вещи ссылаются как на фольклор. (Мне в своё время именно этим книжка и понравилась -- своей незасушенностью.) Однако конкретно в этом месте они и прокололись, и вышла логическая неувязка. Они явно по рассеянности приняли за такой фольклор и утверждение об эквивалентности всех конечномерных норм -- иначе невозможно понять, почему, обсуждая свойства конечномерных пространств, они нигде не конкретизируют вид нормы. Хотя это утверждение принципиально для именно функционального анализа, и его следовало бы чётко сформулировать отдельно.
Правда, авторы это и делают, но! лишь в самом-самом конце этого параграфа, посвящённого нормированным пространствам, в самом последнем упражнении. Что, с одной стороны, свидетельствует об их добросовестности, ну а с другой -- выглядит совершенно анекдотически.
изоморфно модельному 
- кстати, факт, доказываемый в алгебре.