Нормированные конечномерные пр-ва

[apriv]

NQD в сообщении #560373 писал(а):

Любое конечномерное векторное пространство над полем $K$ изоморфно модельному $K^n$ - кстати, факт, доказываемый в алгебре.

Это не «факт, доказываемый в алгебре», потому что здесь «изоморфно» означает «изоморфно как топологическое векторное пространство».

[NQD]

Тогда следующий вопрос: в КФ топологические векторные пространства вводятся только в следующем параграфе, двадцатью страницами позже. Как Вы полагаете, какого доказателства авторы ожидали от читателя?

[apriv]

NQD в сообщении #560529 писал(а):

Как Вы полагаете, какого доказателства авторы ожидали от читателя?

Ну, откуда ж мне знать, что уважаемые авторы имели в виду. Вообще, по-моему, Колмогоров—Фомин — не самая лучшая книга на эту тему.

[NQD]

У меня тоже были такие мысли... например, призрак теоремы Вейерштрасса бродит по всей книге, хотя теорема не только не доказывается, но даже и не приводится. Более того, в разных местах она выглядит по-разному; полагаю, имеются ввиду разные теоремы, но ведь можно было бы внести ясность...
А какие учебники по функану (на русском и английском) Вам нравятся?

[apriv]

NQD в сообщении #560576 писал(а):

А какие учебники по функану (на русском и английском) Вам нравятся?

Я совершенно не специалист в этом. Нравятся Кириллов—Гвишиани и Хелемский. Наверняка еще какие-то англоязычные есть учебники приличные.

[ewert]

NQD в сообщении #560576 писал(а):

например, призрак теоремы Вейерштрасса бродит по всей книге, хотя теорема не только не доказывается, но даже и не приводится.

Какой именно теоремы Вейерштрасса?

В тексте несколько раз ссылаются на теорему Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами. Но сама по себе эта теорема явным образом даже не формулируется и тем более не доказывается (точнее, формально выводится как следствие теоремы Фейера, но лишь в конце книжки, когда уже, откровенно говоря, поздно). Это вот что означает: подразумевается, что эта теорема относится к основной части анализа и читатель её уже знает.

Тем более не формулируется отдельно другая теорема Вейерштрасса (именно она относится к предмету здешнего разговора) -- об ограниченности функции, непрерывной на компакте. Тем более -- поскольку эта теорема гораздо проще и гораздо фундаментальнее предыдущей для математического анализа, пусть даже и функций нескольких переменных.

Всё это вполне понятно: невозможно в курсе функционального анализа дублировать курс математического. Авторы как раз и исходят из того, что читатель достаточно подготовлен, и на многие вещи ссылаются как на фольклор. (Мне в своё время именно этим книжка и понравилась -- своей незасушенностью.) Однако конкретно в этом месте они и прокололись, и вышла логическая неувязка. Они явно по рассеянности приняли за такой фольклор и утверждение об эквивалентности всех конечномерных норм -- иначе невозможно понять, почему, обсуждая свойства конечномерных пространств, они нигде не конкретизируют вид нормы. Хотя это утверждение принципиально для именно функционального анализа, и его следовало бы чётко сформулировать отдельно.

Правда, авторы это и делают, но! лишь в самом-самом конце этого параграфа, посвящённого нормированным пространствам, в самом последнем упражнении. Что, с одной стороны, свидетельствует об их добросовестности, ну а с другой -- выглядит совершенно анекдотически.

[Oleg Zubelevich]

Что в этой книжке писали Колмогоров с Фоминым понять уже трудно. Слишком много безымянных соавторов трудилось над последними изданиями.
"Дорогая Якобина, ты же меня знаешь: когда меня режут, я терплю, но когда дополняют, становится нестерпимо" к\ф Тот самый Мюнхгаузен