Нормированные конечномерные пр-ва

[NQD]

Упражнение из КФ: доказать, что в конечномерном нормированном пространстве всякое подпространство замкнуто.

Мне кажется, нужно использовать наличие нормы для доказательства того, что предел всякой последовательности принадлежит данному подпространству, но как это сделать?

[Padawan]

Честно говоря, в таких задачах даже непонятно, что уже можно использовать, а чего нельзя. То, что в конечномерном все нормы эвкивалентны можно?

[NQD]

В явном виде такое утверждение, кажется, не встречалось. Всё, что не запрещено - разрешено, как этим фактом воспользоваться?

[Padawan]

Эээ, нет, раз уж задача из КФ, то надо использовать только то, что до нее было. На какой она странице?

[NQD]

Седьмое издание, стр. 152 (гл. 3 пункт 2, "Подпространства нормированного пространства").

(Оффтоп)

Меня всегда забавляла эта игра по правилам: то считается известным, а это нет. И самое забавное, когда предлагается доказывать очевидные вещи - поди найди ещё более очевидные агрументы...

[apriv]

NQD в сообщении #560108 писал(а):

доказать, что в конечномерном нормированном пространстве всякое подпространство замкнуто.

Произведение конечного числа полных пространств полно и, следовательно, замкнуто.

[Padawan]

apriv
Ааа, вот Вы и прокололись. Не могу сдержать злорадства . Оно, конечно, правильно, но

1) Что такое произведение конечного числа нормированных пространств? Как на нем вводится норма?
2) Какое отношение эта норма имет к той норме, которая уже задана на этом пространстве.

Мы же тут эквивалентность норм вроде решили не использовать.

-- Вс апр 15, 2012 03:10:28 --

В общем, задача сводится к тому, чтобы доказать, что на конечномерном нормированном пространстве все нормы эквивалентны. Я начал писать, но занудливо получается. Да тут еще apriv появился и с логической цепочки меня сбил. Все ему очевидно... Он Вам сейчас все распишет, я ему буду указывать на недоказанные места, он их будет исправлять -- и любо-дорого получится. Все строго и ничего лишнего.

[NQD]

apriv, Padawan,
мне неясны сразу два момента: откуда видно, что пространство является произведением полных пространств? И второе: я что-то не заметил, чтобы оговаривалась полнота - полнота подразумевает замкнутость, а может случиться так, что подпространство замкнуое, но не полное?

[Padawan]

NQD
Полное метрическое пространство всегда замкнуто в любом содержащего его метрическом пространстве.
Поэтому надо показать, что конечномерное нормированное пространство полно. Если бы мы показали, что в конечномерном пространстве любые две нормы эквивалентны, то все бы свелось к тому, что $\mathbb R^n$ (или $\mathbb C^n$) с обычной евклидовой нормой полно, а это известный факт из курса математического анализа.

[apriv]

Padawan в сообщении #560136 писал(а):

1) Что такое произведение конечного числа нормированных пространств? Как на нем вводится норма?
2) Какое отношение эта норма имет к той норме, которая уже задана на этом пространстве.

Конечно, перед этим нужно доказать, что полнота подмножества не зависит от того, какую топологию мы ввели на пространстве, лишь бы она была согласована со структурой векторного пространства. Это, в общем, несложно.

[NQD]

Я, на всякий случай, перечитал параграф - ясности не прибавилось. Цитировать не стану, полагаю, любой имеет КФ под рукой, просто изложу своё видение проблемы:
1) Замкнутое пространство не обязано быть полным - оно обязано содержать предельные точки сходящихся последовательностей, но сходиться может не любая фундаментальная последовательность. Например, $\mathbb{Q}^n$ - замкнуто, как и его подпространство $\mathbb{Q}^{n-m}$, они могут быть нормированы, но не полны.
2) Утверждение, которое предлагается доказать гласит: "В конечномерном нормированном пространстве всякое подпространство автоматически замкнуто". Ни слова о полноте. Поэтому мне кажется, что вводить требование полноты здесь не следует.

[apriv]

NQD в сообщении #560146 писал(а):

Утверждение, которое предлагается доказать гласит: "В конечномерном нормированном пространстве всякое подпространство автоматически замкнуто". Ни слова о полноте.

У Колмогорова—Фомина (специально открыл посмотреть впервые за много лет) предполагается, что базовым полем является $\mathbb R$ или $\mathbb C$. Это говорится в определении векторного пространства, хотя и стоит сноска «можно рассматривать и пространства над произвольным полем». Оно, конечно, можно, но утверждение неверно, если базовое поле не является полным. Чего уж там, оно неверно уже для $\mathbb Q$ — множество $\mathbb Q(\sqrt{2})$ является двумерным пространством над $\mathbb Q$, но его одномерное подпространство $\mathbb Q$ не является замкнутым в нем. А над полным полем, замечу, доказывается даже большее: конечномерное подпространство любого пространства является замкнутым.

[NQD]

apriv в сообщении #560170 писал(а):

У Колмогорова—Фомина (специально открыл посмотреть впервые за много лет) предполагается, что базовым полем является $\mathbb R$ или $\mathbb C$.

Подобное неявное соглашение о поле скаляров, в классическом учебнике, мне кажется черезмерной вольностью. Оно было бы допустимо, если бы в определении векторного пр-ва говорилось: "всюду, где специально не оговорено противное, подразумевается $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$", не ведь сказано совсем иначе: "В зависимости, от того, какой запас чисел (все комплексные или только действительные) используется, различают комплексные и действительные линейные пространства" (стр. 130).

apriv в сообщении #560170 писал(а):

А над полным полем, замечу, доказывается даже большее: конечномерное подпространство любого пространства является замкнутым.

А как же насчёт примера из того же КФ - в пространстве $C[a,b]$ непрерывных функций с нормой $||f||=\displaystyle\max_{a\leq t\leq b}|f(t)|$ многочлены образуют подпространство, но не замкнутое. Насчёт степени многочленов ничего не сказано, но её вполне можно считать конечной - множество таких многочленов образует подпространство.

[Padawan]

apriv в сообщении #560141 писал(а):

Padawan в сообщении #560136 писал(а):

1) Что такое произведение конечного числа нормированных пространств? Как на нем вводится норма?
2) Какое отношение эта норма имет к той норме, которая уже задана на этом пространстве.

Конечно, перед этим нужно доказать, что полнота подмножества не зависит от того, какую топологию мы ввели на пространстве, лишь бы она была согласована со структурой векторного пространства. Это, в общем, несложно.

Не понял, что Вы хотите сказать. Докажите. А то выяснится, что еще что-то нужно перед этим доказать, фильтры ввести и прочее :) То, что в конечномерном пространстве хаусдорфова топология, согласованная с векторной структурой, единственна, доказывается существенно сложнее, чем то, что любые две нормы эквивалентны.


NQD
Поле скаляров $\mathbb R$ или $\mathbb C$ в КФ, это однозначно.

[Oleg Zubelevich]

NQD в сообщении #560176 писал(а):

А как же насчёт примера из того же КФ - в пространстве $C[a,b]$ непрерывных функций с нормой $||f||=\displaystyle\max_{a\leq t\leq b}|f(t)|$ многочлены образуют подпространство, но не замкнутое.

а разве многочлены это конечномерное пространство?

-- Вс апр 15, 2012 09:18:50 --

NQD в сообщении #560176 писал(а):

Насчёт степени многочленов ничего не сказано, но её вполне можно считать конечной - множество таких многочленов образует подпространство.

а бывают многочлены бесконечной степени?