Нормированные конечномерные пр-ва

[NQD]

А ничего, если я, параллельно развиваемой теме, продолжу направление, кажущееся более перспективным?

Padawan в сообщении #560136 писал(а):

В общем, задача сводится к тому, чтобы доказать, что на конечномерном нормированном пространстве все нормы эквивалентны.

Как понимать эквивалентность норм, так, что определяемые ими расстояния задают одну и ту же топологию?

[Oleg Zubelevich]

NQD
а вы вроде собирались доказать, что конечномерное подпространство может быть незамкнутым в бесконечномерном? где примеры? что -то вы быстро онемели

[Padawan]

NQD в сообщении #560188 писал(а):

Как понимать эквивалентность норм, так, что определяемые ими расстояния задают одну и ту же топологию?

Нет, более сильное условие : равносильно: существуют числа $a,b>0$ такие, что для любого $x\neq 0$ выполнено $a\|x\|_1<\|x\|_2<b\|x\|_1$

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #560190 писал(а):

Нет, более сильное условие : существуют числа $a,b>0$ такие, что для любого $x\neq 0$ выполнено $a\|x\|_1<\|x\|_2<b\|x\|_1$

а разве оно более сильное?

[Padawan]

Oleg Zubelevich
В общем случае да. В случае банаховых -- ну Вы сам все знаете.
Ой, действительно, экивалентно. Прошу прощения.

[NQD]

Oleg Zubelevich в сообщении #560189 писал(а):

NQD
а вы вроде собирались доказать, что конечномерное подпространство может быть незамкнутым в бесконечномерном? где примеры? что -то вы быстро онемели

Почему онемел, просто набор сообщений занимает время, тем более, если пытаешься думать над тем, о чём говоришь. Так вот, пример, который я привёл, взят из того же КФ и, разумеется, многочлены образуют конечномерное подпространство в пр-ве всех непрерывных ф-й.

Цитата:

в пространстве $C[a,b]$ непрерывных функций с нормой $||f||=\displaystyle\max_{a\leq t\leq b}|f(t)|$ многочлены образуют подпространство, но не замкнутое.

[Padawan]

NQD в сообщении #560194 писал(а):

разумеется, многочлены образуют конечномерное .

Пространство всех многочленов бесконечномерно. Одночлены $x^n$, $n=0,1,2,\ldots$ линейно независимы.

[apriv]

Padawan в сообщении #560183 писал(а):

Не понял, что Вы хотите сказать. Докажите.

Давайте считать, что все пространства хаусдорфовы, а $K$ — недискретное нормированное поле.
Сначала докажем, что каждое одномерное пространство над $K$ изоморфно $K$.
Лемма: пусть $V$ одномерно, $v\in V$ — ненулевой вектор. Тогда отображение $K\to V$, $\alpha\mapsto \alpha v$ является изоморфизмом.
Доказательство: очевидно, что это отображение биективно и непрерывно. Докажем, что обратное к нему непрерывно. То есть, для вещественного числа $\varepsilon>0$ нужно показать, что существует окрестность нуля $U$ в $V$ такая, что из $\alpha v\in V$ следует, что $|\alpha|<\varepsilon$. Так как $K$ недискретно, то существует $\alpha_0\in K$ такой, что $0<|\alpha_0|<\alpha$. По хаусдорфовости в $V$ существует окрестность нуля $U$, не содержащая $\alpha_0 v$, и можно предполагать ее уравновешенной. Теперь если $\alpha v\in U$, то $|\alpha|<|\alpha_0|$, иначе было бы $|\frac{\alpha_0}{\alpha}|\leq 1$, поэтому $\alpha_0 v = \frac{\alpha_0}{\alpha}\alpha v\in U$, что противоречит предположению.

Теперь давайте докажем, что каждое конечномерное векторное пространство $V$ над полным полем $K$ изоморфно $K^n$. Возьмем базис $v_1,\dots,v_n$ в $V$ и покажем, что отображением $K^n\to V$, $(\alpha_i)\mapsto\sum_i{\alpha_iv_i}$ является изоморфизмом. Доказываем индукцией по $n$. База — см. Лемму. Переход: пусть $H$ — линейная оболочка $v_1,\dots,v_{n-1}$. По предположению индукции аналогичное отображение устраивает изоморфизм $K^{n-1}$ на $H$. При этом $H$ замкнуто, а одномерное подпространство $Kv_n$ дополнительно к нему и хаусдорфово. Рассмотрим каноническую проекцию $Kv_n\to V/H$. По Лемме это изоморфизм, поэтому $V$ изоморфно прямому произведению $H$ и $Kv_n$.

[Padawan]

apriv в сообщении #560246 писал(а):

При этом $H$ замкнуто, а одномерное подпространство $Kv_n$ дополнительно к нему и хаусдорфово. Рассмотрим каноническую проекцию $Kv_n\to V/H$. По Лемме это изоморфизм, поэтому $V$ изоморфно прямому произведению $H$ и $Kv_n$.

$Kv_n$ дополнительно к $H$ в алгебраическом смысле. Как из леммы следует, что это изоморфизм? Как из того, что это изоморфизм следует, что $V$ изоморфно прямому произведению $H$ и $Kv_n$ ?

Книжку Бурбаки я и без Вас уже посмотрел.
Кстати, "Топологические векторные пространства" из всех книг Бурбаки мне больше всего нравится. Написана понятно, без всяких заскоков.
Я думаю это потому, что они сами там много сделали (Дьедонне, Гротендик, Шварц).

По поводу моих вопросов, оно, конечно, если в книжке покопаться и до истоков дойти, понятно, и даже очевидно. Но это ж надо все сделать. А тут вопрос про нормированные пространства. А Вы опять со своими "фильтрами". Я утрирую.

[apriv]

Padawan в сообщении #560248 писал(а):

Как из леммы следует, что это изоморфизм?

Это типа очевидно: рассмотрим композицию $K\to Kv_n\to V/H$, $\alpha\mapsto\alpha v_n\mapsto \alpha\overline{v_n}$, эта композиция удовлетворяет условиям Леммы, поэтому является изоморфизмом, и первое отображение, $K\to Kv_n$, тоже изоморфизм.

Padawan в сообщении #560248 писал(а):

Как из того, что это изоморфизм следует, что $V$ изоморфно прямому произведению $H$ и $Kv_n$?

Это типа совсем очевидно: отображение $H\times Kv_n\to V$, сопоставляющее паре $(h,\alpha v_n)$ сумму $h+\alpha v_n$, непрерывно по жизни, а обратное к нему непрерывно как раз по доказанному выше.

[Padawan]

apriv в сообщении #560279 писал(а):

а обратное к нему непрерывно как раз по доказанному выше.

Поясните.

[apriv]

Padawan в сообщении #560284 писал(а):

apriv в сообщении #560279 писал(а):

а обратное к нему непрерывно как раз по доказанному выше.

Поясните.

У нас есть непрерывное отображение $p\colon V\to V/H\to Kv_n$, его можно рассмотреть как оператор на $V$; тогда отображение $1-p\colon V\to H$ также непрерывно. Значит, и отображение $V\to H\times KV_n$ непрерывно.

[Padawan]

Вопросов больше не имею.

[apriv]

Padawan в сообщении #560248 писал(а):

Кстати, "Топологические векторные пространства" из всех книг Бурбаки мне больше всего нравится. Написана понятно, без всяких заскоков.

Так они все понятно и без заскоков написаны, кроме «Теории множеств». Кое-где, конечно, теории категорий не хватает, но тут уж ничего не поделать.

[NQD]

Таким образом, имеем:
0) В КФ всюду: поле, над которым определяется векторное пространство либо $\mathbb{R}$ либо $\mathbb{C}$.
1) Любое конечномерное векторное пространство над полем $K$ изоморфно модельному $K^n$ - кстати, факт, доказываемый в алгебре.
2) Произведение конечного числа полных пространств полно и, следовательно, замкнуто.

Большое спасибо всем, особенно Padawan и apriv за помощь.

P.S. Оставляет лёгкое разочарование тот факт, что мы обошлись, по крайней мере в явном виде, без использования нормы. Хотя упражнение было вобщем-то на тему нормы. Мне кажется, что причина этого - нулевой пункт выше, он как-то сразу сделал всё тривиальным...