2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Нормированные конечномерные пр-ва
Сообщение15.04.2012, 09:27 


14/04/12
60
А ничего, если я, параллельно развиваемой теме, продолжу направление, кажущееся более перспективным?
Padawan в сообщении #560136 писал(а):
В общем, задача сводится к тому, чтобы доказать, что на конечномерном нормированном пространстве все нормы эквивалентны.
Как понимать эквивалентность норм, так, что определяемые ими расстояния задают одну и ту же топологию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированные конечномерные пр-ва
Сообщение15.04.2012, 09:31 


10/02/11
6786
NQD
а вы вроде собирались доказать, что конечномерное подпространство может быть незамкнутым в бесконечномерном? где примеры? что -то вы быстро онемели

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированные конечномерные пр-ва
Сообщение15.04.2012, 09:31 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
NQD в сообщении #560188 писал(а):
Как понимать эквивалентность норм, так, что определяемые ими расстояния задают одну и ту же топологию?

Нет, более сильное условие : равносильно: существуют числа $a,b>0$ такие, что для любого $x\neq 0$ выполнено $a\|x\|_1<\|x\|_2<b\|x\|_1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированные конечномерные пр-ва
Сообщение15.04.2012, 09:32 


10/02/11
6786
Padawan в сообщении #560190 писал(а):
Нет, более сильное условие : существуют числа $a,b>0$ такие, что для любого $x\neq 0$ выполнено $a\|x\|_1<\|x\|_2<b\|x\|_1$

а разве оно более сильное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированные конечномерные пр-ва
Сообщение15.04.2012, 09:33 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Oleg Zubelevich
В общем случае да. В случае банаховых -- ну Вы сам все знаете.
Ой, действительно, экивалентно. Прошу прощения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированные конечномерные пр-ва
Сообщение15.04.2012, 09:41 


14/04/12
60
Oleg Zubelevich в сообщении #560189 писал(а):
NQD
а вы вроде собирались доказать, что конечномерное подпространство может быть незамкнутым в бесконечномерном? где примеры? что -то вы быстро онемели
Почему онемел, просто набор сообщений занимает время, тем более, если пытаешься думать над тем, о чём говоришь. Так вот, пример, который я привёл, взят из того же КФ и, разумеется, многочлены образуют конечномерное подпространство в пр-ве всех непрерывных ф-й.
Цитата:
в пространстве $C[a,b]$ непрерывных функций с нормой $||f||=\displaystyle\max_{a\leq t\leq b}|f(t)|$ многочлены образуют подпространство, но не замкнутое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированные конечномерные пр-ва
Сообщение15.04.2012, 09:47 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
NQD в сообщении #560194 писал(а):
разумеется, многочлены образуют конечномерное .

Пространство всех многочленов бесконечномерно. Одночлены $x^n$, $n=0,1,2,\ldots$ линейно независимы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированные конечномерные пр-ва
Сообщение15.04.2012, 12:49 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Padawan в сообщении #560183 писал(а):
Не понял, что Вы хотите сказать. Докажите.

Давайте считать, что все пространства хаусдорфовы, а $K$ — недискретное нормированное поле.
Сначала докажем, что каждое одномерное пространство над $K$ изоморфно $K$.
Лемма: пусть $V$ одномерно, $v\in V$ — ненулевой вектор. Тогда отображение $K\to V$, $\alpha\mapsto \alpha v$ является изоморфизмом.
Доказательство: очевидно, что это отображение биективно и непрерывно. Докажем, что обратное к нему непрерывно. То есть, для вещественного числа $\varepsilon>0$ нужно показать, что существует окрестность нуля $U$ в $V$ такая, что из $\alpha v\in V$ следует, что $|\alpha|<\varepsilon$. Так как $K$ недискретно, то существует $\alpha_0\in K$ такой, что $0<|\alpha_0|<\alpha$. По хаусдорфовости в $V$ существует окрестность нуля $U$, не содержащая $\alpha_0 v$, и можно предполагать ее уравновешенной. Теперь если $\alpha v\in U$, то $|\alpha|<|\alpha_0|$, иначе было бы $|\frac{\alpha_0}{\alpha}|\leq 1$, поэтому $\alpha_0 v = \frac{\alpha_0}{\alpha}\alpha v\in U$, что противоречит предположению.

Теперь давайте докажем, что каждое конечномерное векторное пространство $V$ над полным полем $K$ изоморфно $K^n$. Возьмем базис $v_1,\dots,v_n$ в $V$ и покажем, что отображением $K^n\to V$, $(\alpha_i)\mapsto\sum_i{\alpha_iv_i}$ является изоморфизмом. Доказываем индукцией по $n$. База — см. Лемму. Переход: пусть $H$ — линейная оболочка $v_1,\dots,v_{n-1}$. По предположению индукции аналогичное отображение устраивает изоморфизм $K^{n-1}$ на $H$. При этом $H$ замкнуто, а одномерное подпространство $Kv_n$ дополнительно к нему и хаусдорфово. Рассмотрим каноническую проекцию $Kv_n\to V/H$. По Лемме это изоморфизм, поэтому $V$ изоморфно прямому произведению $H$ и $Kv_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированные конечномерные пр-ва
Сообщение15.04.2012, 12:59 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
apriv в сообщении #560246 писал(а):
При этом $H$ замкнуто, а одномерное подпространство $Kv_n$ дополнительно к нему и хаусдорфово. Рассмотрим каноническую проекцию $Kv_n\to V/H$. По Лемме это изоморфизм, поэтому $V$ изоморфно прямому произведению $H$ и $Kv_n$.

$Kv_n$ дополнительно к $H$ в алгебраическом смысле. Как из леммы следует, что это изоморфизм? Как из того, что это изоморфизм следует, что $V$ изоморфно прямому произведению $H$ и $Kv_n$ ?

Книжку Бурбаки я и без Вас уже посмотрел.
Кстати, "Топологические векторные пространства" из всех книг Бурбаки мне больше всего нравится. Написана понятно, без всяких заскоков.
Я думаю это потому, что они сами там много сделали (Дьедонне, Гротендик, Шварц).

По поводу моих вопросов, оно, конечно, если в книжке покопаться и до истоков дойти, понятно, и даже очевидно. Но это ж надо все сделать. А тут вопрос про нормированные пространства. А Вы опять со своими "фильтрами". Я утрирую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированные конечномерные пр-ва
Сообщение15.04.2012, 14:09 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Padawan в сообщении #560248 писал(а):
Как из леммы следует, что это изоморфизм?

Это типа очевидно: рассмотрим композицию $K\to Kv_n\to V/H$, $\alpha\mapsto\alpha v_n\mapsto \alpha\overline{v_n}$, эта композиция удовлетворяет условиям Леммы, поэтому является изоморфизмом, и первое отображение, $K\to Kv_n$, тоже изоморфизм.
Padawan в сообщении #560248 писал(а):
Как из того, что это изоморфизм следует, что $V$ изоморфно прямому произведению $H$ и $Kv_n$?

Это типа совсем очевидно: отображение $H\times Kv_n\to V$, сопоставляющее паре $(h,\alpha v_n)$ сумму $h+\alpha v_n$, непрерывно по жизни, а обратное к нему непрерывно как раз по доказанному выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированные конечномерные пр-ва
Сообщение15.04.2012, 14:22 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
apriv в сообщении #560279 писал(а):
а обратное к нему непрерывно как раз по доказанному выше.

Поясните.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированные конечномерные пр-ва
Сообщение15.04.2012, 14:51 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Padawan в сообщении #560284 писал(а):
apriv в сообщении #560279 писал(а):
а обратное к нему непрерывно как раз по доказанному выше.

Поясните.

У нас есть непрерывное отображение $p\colon V\to V/H\to Kv_n$, его можно рассмотреть как оператор на $V$; тогда отображение $1-p\colon V\to H$ также непрерывно. Значит, и отображение $V\to H\times KV_n$ непрерывно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированные конечномерные пр-ва
Сообщение15.04.2012, 14:55 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Вопросов больше не имею.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированные конечномерные пр-ва
Сообщение15.04.2012, 15:06 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Padawan в сообщении #560248 писал(а):
Кстати, "Топологические векторные пространства" из всех книг Бурбаки мне больше всего нравится. Написана понятно, без всяких заскоков.

Так они все понятно и без заскоков написаны, кроме «Теории множеств». Кое-где, конечно, теории категорий не хватает, но тут уж ничего не поделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированные конечномерные пр-ва
Сообщение15.04.2012, 17:31 


14/04/12
60
Таким образом, имеем:
0) В КФ всюду: поле, над которым определяется векторное пространство либо $\mathbb{R}$ либо $\mathbb{C}$.
1) Любое конечномерное векторное пространство над полем $K$ изоморфно модельному $K^n$ - кстати, факт, доказываемый в алгебре.
2) Произведение конечного числа полных пространств полно и, следовательно, замкнуто.

Большое спасибо всем, особенно Padawan и apriv за помощь.

P.S. Оставляет лёгкое разочарование тот факт, что мы обошлись, по крайней мере в явном виде, без использования нормы. Хотя упражнение было вобщем-то на тему нормы. Мне кажется, что причина этого - нулевой пункт выше, он как-то сразу сделал всё тривиальным...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group