Конференция по финслеровой геометрии

[Time]

g______d в сообщении #560013 писал(а):

По поводу бесполезности простыней текста --- не беспокойтесь, я их читаю, хотя бы из уважения к труду того, кто их писал (безотносительно к их содержанию --- если они являются ответом на мои сообщения, конечно).

Конечно, и на том спасибо, что хотя бы пробегаете глазами, но было бы лучше, если б и Вы на мои вопросы пробовали отвечать. В частности, Вы оставили без внимания вопрос о соленоидальности некоторых векторных полей на псевдоевклидовой плоскости и не сказали о своем отношении к гипотезе существования полей с соответствующими свойствами в реальности.

g______d в сообщении #560013 писал(а):

Теперь по поводу идеи геометризации --- она выглядит амбициозно, но очень наивно. Из внятных аргументов я понял только то, что она работает для двумерной электростатики и поэтому почему-то должна работать для всех остальных взаимодействий во всех размерностях.

Это Вы не отрываетесь от двумерной электростатики. Если уж говорить в направлении именно такой интерпретации конформных преобразований евклидовой плоскости, то на ней есть еще и двумерная магнитостатическая составляющая. Но дело не в конкретных приложениях двумерных полей на евклидовой плоскости и связанных с нею конформных преобразований, а в том, что тут возникает простейший пример, когда из двумерной геометрии с бесконечным множеством симметрий сами собой появляются такие физически интерпретируемые объекты, как поле и различные заряды. Вам же не предлагают только этим случаем и ограничиться. Почему же Вы хотя бы ради легкой попытки не пройдетесь по аналогичной ситуации на псевдоевклидовой плоскости? Если не получится ничего стоящего и более интересного, чем двумерная электростатика, то, значит, идея была действительно наивная. Но Вы же не аргументы против приводите, а констатируете некое свое безапелляционное мнение, без какого либо подкрепления и обоснования.

g______d в сообщении #560013 писал(а):

Знаете, серьезно такое впечатление, что Вы дальше двумерной электростатики в фундаментальном образовании не продвинулись, а она Вам настолько понравилась, что возникла навязчивая идея, что так должна быть устроена вся физика.

Я же не говорю по поводу Ваших навязчивых идей. Будьте, пожалуйста, хотя бы корректны. Что касается моих интересов в физике и в математике, они действительно имеют очень узкую направленность и связаны исключительно с коммутативно-ассоциативными алгебрами гиперкомплексных чисел и ассоциируемыми с ними финслеровыми пространствами. Предполагаю, что в данной узкой области мне известно на много больше и лучше, чем, в частности, Вам. Хотя, допускаю, что мои знания и тут грешат определенными пробелами, во всяком случае там, где дело касается пограничных областей. На продвинутое знание иных разделов, как математики, так и физики - я не претендую.

g______d в сообщении #560013 писал(а):

Теперь немного по другому поводу. Я слышал, что ваша группа организует занятия для школьников. Можно взглянуть на программу? Лично мне кажется, что неправильно привлекать школьников к альтернативным теориям, пирамидам и т. д. Если у Вас школьников учат строго базовым классическим курсам, то это ок, но я сомневаюсь, что совсем уж отсутствует соответствующая идеологическая обработка.

На лекциях студентов у нас на школах учат в основном именно базовым классическим курсам, в чем не трудно убедиться, хотя бы по диагонали взглянув на конспект лекций:
http://www.hyper-complex.ru/files/pages ... es_rus.pdf
(32 МБ)
Со школьниками еще строже, тут вообще основной упор всегда был на самые обычные классические направления. Если любопытно, можете взглянуть на начальную часть отчета по одной из таких школ, там приведено подробное расписание занятий:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... school.pdf
К слову сказать, все 14 школьников той школы на сегодня поступили в лучшие ВУЗ'ы страны. Конечно, это совсем не заслуга нашей школы, а тех физматшкол, что они посещали на протяжение пяти-шести лет до этого и их директоров, оба из которых присутствовали и преподавали на этой конкретной школе и сами определяли, что и как давать своим ученикам. Если бы все физматшколы были бы такими же, как, например, центр "Логос" из Ярославля, переживать по поводу будущего нашей страны было бы совсем не актуально. Можно и мне полюбопытствовать, на счет каких ни будь Ваших методов и конкретных работах со школьниками или студентами?
Что касается названной Вами идеологической части, она, конечно, присутствовала, но факультативно, на полностью добровольной основе и с согласия родителей и директоров обеих физматшкол. Со студентами и аспирантами на много проще, они уже совершеннолетние и сами решают, слушать ли про финслеровы пространства и связанные с некоторыми из них правильные многогранники. Надеюсь, Вас не коробит факт, что линзы и зеркала для фокусировки электромагнитных волн имеют формы сфер, параболоидов и гиперболоидов? А изучение физических свойств тел с подобными округлыми поверхностями при взаимодействии с электромагнитным полем Вы не относите к мистицизму или к эзотерике? Почему же Вас так настораживают попытки взглянуть на многогранники, как на теоретически возможные элементы прикладных устройств, связанных с полями возникающими не в квадратичных геометриях, а, например, в метриках задающихся четвертыми степенями компонент и с гранеными изотропными конусами?

-- Сб апр 14, 2012 21:40:06 --

bayak в сообщении #560022 писал(а):

Порой мне кажется, что определённые "непрерывные симметрии" вскружили Вам голову и Вы не хотите приземлиться на грешную землю.

Повторю в n-ый раз: желаете пробовать геометризовывать в рамках финслеровых метрик фундаментальные взаимодействия без опоры на непрерывные метрически выделенные симметрии - ради бога! Я Вам своих приоритетов не навязываю. Но мне иные попытки представляются не состоятельными. Если я ошибаюсь, надеюсь, Ваши будущие достижения заставят меня устыдиться своей недальновидности..

[g______d]

Time в сообщении #560060 писал(а):

Но дело не в конкретных приложениях двумерных полей на евклидовой плоскости и связанных с нею конформных преобразований, а в том, что тут возникает простейший пример, когда из двумерной геометрии с бесконечным множеством симметрий сами собой появляются такие физически интерпретируемые объекты, как поле и различные заряды. Вам же не предлагают только этим случаем и ограничиться.

Ну хорошо. Приведите тогда еще хотя бы один пример, когда из геометрии с бесконечным множеством симметрий появляются физически интерпретируемые объекты.

[Time]

g______d в сообщении #560074 писал(а):

Ну хорошо. Приведите тогда еще хотя бы один пример, когда из геометрии с бесконечным множеством симметрий появляются физически интерпретируемые объекты.

Пожалуйста:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... ngp-14.pdf
(6 Мб) Стр. 11-38.
Тут речь идет о двумерной геометрии с метрикой Бервальда-Моора, она же - геометрия двумерного псевдоевклидова пространства-времени и в последнем качестве на много более понятна большинству физиков. Множество конформных симметрий тут именно бесконечно. Сами конформные преобразования как и их аналоги на евклидовой плоскости естественным образом приводят к появлению, и нетривиальных полей, и связанных с ними источников, стоков и вихрей (только гиперболического типа). Мы с соавтором утверждаем, что эти двумерные геометрические объекты ни чуть не менее физичны, чем их аналоги на евклидовой плоскости. Данное утверждение относительно не сложно проверить в лабораторных экспериментах, что мы недавно и сделали.
Такой пример устраивает? Если да, ответьте, пожалуйста, на мои вопросы, прозвучавшие в нескольких предыдущих постах..

[g______d]

Я правильно понял? Вы утверждаете, что провели эксперимент и открыли новый фундаментальный физический эффект? И это можно проверить в лаборатории?

Если да, то можно подавать заявку в нобелевский комитет. Но лично я верю, что в пределах погрешности обычного лабораторного оборудования традиционная физика более чем считается проверенной. Под обычным я понимаю то, что размерами не больше 10 метров :)

[Time]

g______d в сообщении #560109 писал(а):

Я правильно понял? Вы утверждаете, что провели эксперимент и открыли новый фундаментальный физический эффект? И это можно проверить в лаборатории?

Я пока выражусь более осторожно. На основании геометрических свойств двумерного и четырехмерного пространства-времени с метрической функцией Бервальда-Моора мы предсказали новый физический эффект, который не следует на прямую, ни из теории электромагнитного поля, ни из общей или специальной теории относительности. Так же было теоретически показано, что данный эффект вполне может быть проверен экспериментально в масштабах обычной лаборатории. Проведенные в соответствии с этими предсказаниями качественные эксперименты показали, что их результаты могут быть проинтерпретированы именно в том смысле, что предсказываемый эффект существует и вполне наблюдаем. Оценка возможных возмущений, которые могли внести в эксперимент звуковые и сейсмические воздействия дала уровень в ~$10^{-10}$, электромагнитные воздействия оцениваются в ~$10^{-20}$ и гравитационные эффекты должны были сказываться лишь на уровне ~$10^{-41}$ по сравнению с уровнем регистрируемого полезного сигнала. Конечно, все эти результаты требуют повторных и более прямых подтверждений, а так же проверки независимыми группами исследователей.

g______d в сообщении #560109 писал(а):

Но лично я верю, что в пределах погрешности обычного лабораторного оборудования традиционная физика более чем считается проверенной. Под обычным я понимаю то, что размерами не больше 10 метров :)

Обычные экспериментальные результаты по всем известным обычным фундаментальным полям мы и не затрагиваем. За них можно быть совершенно спокойными. Мы лишь исследовали и, похоже, подтвердили экспериментально, что в природе имеются и совсем даже не обычные поля, причем недвусмысленное указание на их существование содержится в той самой логике, которую выше Вы назвали наивной. Принцип детектирования этих полей базируется не на измерениях пространственных смещений у динамометров и их аналогов, а на сравнениях в показаниях высокоточных часов (нам хватило точности в $10^{-11}$) в течение малых (порядка $10^{-3}$ c и существенно меньше) промежутков времени. Возможно, именно из-за этого не совсем обычного способа детектирования таких полей они и не попадали до сих пор в зону пристального внимания физиков-теоретиков и экспериментаторов. (Если я ошибаюсь, прошу указать на эксперименты аналогичной направленности, чем черт не шутит, вдруг мы просто чего не знаем.)
Мне Ваше ерничание представляется совершенно необоснованным, особенно с учетом того, что рекомендуемую статью Вы просто технически не могли успеть перед этим прочитать, а тем более вникнуть. Cтатью же с экспериментальными результатами я вообще пока не планировал тут выкладывать. Не вижу смысла, до тех пор, пока хоть кто-то не даст себе труд разобраться в теоретической части.. Может на этом стОит свернуть обсуждение?

[g______d]

Среди всего, сказанного Вами, самым убедительным аргументом в пользу Вашей концепции устройства мира является этот эксперимент. Насчет математической части теории я остаюсь при своем мнении, при котором я остался и в конце предыдущей ветки. Здесь я пытался выяснить, есть ли в ней что-то с точки зрения теоретической физики, но тоже ничего не обнаружил.

Против эксперимента я возразить не могу. Но это уже не так интересно --- в мире (и особенно в нашей стране) есть огромное количество установок, создатели которых утверждают, что их результаты противоречат традиционной физике (наличие пятого взаимодействия внутри границ применимости существующих приборов считается противоречием).

Я считаю, что получил ответ на свой вопрос --- мотивации к тому, что мир должен быть устроен так, в теоретической физике (кроме двумерной электростатики) нет, но она есть в этом самом эксперименте.

Поэтому я в целом принимаю Ваше предложение свернуть обсуждение. Выше Вы говорили, что я не отвечаю на Ваши вопросы --- если Вы кратко сформулируете те, что еще считаете актуальными, то я на них отвечу. Несмотря на то, что я читал все Ваши посты, не всегда понятно, какие из вопросов ко мне, а какие являются риторическими.

[Time]

g______d в сообщении #560142 писал(а):

Среди всего, сказанного Вами, самым убедительным аргументом в пользу Вашей концепции устройства мира является этот эксперимент.

Как я и опасался, Вы не поняли самого основного. Эксперимент является убедительным аргументом только для Вас. Мне его результаты представляются очевидными, они просто не могут быть иными, ну, разве что, имелся вопрос, на каком уровне чувствительности и точности часов должен был проявиться предсказываемый эффект?

g______d в сообщении #560142 писал(а):

Но это уже не так интересно --- в мире (и особенно в нашей стране) есть огромное количество установок, создатели которых утверждают, что их результаты противоречат традиционной физике

Согласен, что эксперимент в отношении обсуждаемого эффекта - это почти не интересно. С некоторыми результатами чужих экспериментальных работ, утверждающими о выходе за рамки традиционной физики я знаком, но ни в одном из таких исследований мне не удалось обнаружить геометрического объяснения наблюдаемых эффектов, тем более, связи с непрерывными симметриями (хотя бы с изометрическими).

g______d в сообщении #560142 писал(а):

Я считаю, что получил ответ на свой вопрос --- мотивации к тому, что мир должен быть устроен так, в теоретической физике (кроме двумерной электростатики) нет, но она есть в этом самом эксперименте.

Тут я не соглашусь. Просто Вам (и большинству современных математиков и физиков) такая мотивация представляется слишком "наивной" и простой. Тут, примерно так же, как с обобщением понятия скалярного произведения для поличисловых финслеровых пространств с билинейной симметрической формы от двух векторов на полилинейную симметрическую форму от нескольких. Все на столько элементарно, что стыдно признаться даже самому себе, что мимо столь простой конструкции можно было ходить (я имею в виду в основном специалистов по финслеровым пространствам и гиперкомплексным алгебрам) несколько десятилетий и не замечать ее. Проще пожать плечами и убедить себя, что никакого серьезного момента в этом нет (это в основном геометрическом объекте то..). Так и Вы сейчас. Мотивация совершенно та же, что была у Г.Вейля, когда он имел надежду, что хотя бы некоторые финслеровы пространства, вдруг, окажутся более богатыми на группы изометрических симметрий, чем их аналоги по размерности с квадратичным типом метрической функции (к сожалению, эти ожидания не оправдались). Или та же, что у Рашевского, когда он начал искать третий фундаментальный параметр у некоторых финслеровых пространств (мы назвали этот параметр тринглом и определили немного иначе, чем делал это Рашевский) и загодя назвал их полиметрическими. Уверен, что Вам в их действиях так же не видно никакой, ни математической, ни физической мотивации..

g______d в сообщении #560142 писал(а):

Выше Вы говорили, что я не отвечаю на Ваши вопросы --- если Вы кратко сформулируете те, что еще считаете актуальными, то я на них отвечу.

Пожалуй, интересно услышать ответ только на один вопрос.
Что лично Вы думаете по поводу аналога соленоидальности векторных полей на евклидовой плоскости, перенесенной на псевдоевклидову плоскость? Надеюсь, что даже если Вы ничего не слышали и сами не занимались этим аспектом, Вы проявите уважение ко мне и хотя бы немного обдумаете ситуацию, перед тем как ответить..
Тем более, что ответ на него, волей не волей, затрагивает еще один момент, на который Вы упорно не хотели обращать внимание во время нашего диалога. А именно, что конформные преобразования евклидовой плоскости связываются не только с двумерной электростатикой, но и с двумерной магнитостатикой.. Заранее спасибо за согласие ответить.

[bayak]

Time в сообщении #560060 писал(а):

Я Вам своих приоритетов не навязываю. Но мне иные попытки представляются не состоятельными.

Хорошо, не будем говорить об альтернативных финслеровых пространствах, но давайте тогда критически посмотрим на 4-мерные пространства Бервальда-Моора, Чернова, Минковского и Евклида. В этих пространствах метрическая функция расстояния (в изотропном базисе) задаётся соответственно: 4-объёмами, 3-объёмами, 2-объёмами (площадями), 1-объёмами (длинами). Однако только в случае пространства Минковского существует базис, в котором метрическая функция расстояния имеет вид псевдоевклидовой длины, выделяющей три пространственных и одно временное измерение. Почему это так сказать трудно, но факт остаётся фактом - пространство Минковского отличается среди них выделенностью пространства и времени. Можно конечно заниматься физическими интерпретациями в этом суперсимметричном пространстве Бервальда-Моора, но тогда надо сразу оговориться, что это физика пространственно-временной неопределённости.

[bayak]

Если к 4-мерным пространствам Бервальда-Моора, Чернова, Минковского и Евклида добавить ещё псевдоевклидово пространство симметричной сигнатуры (2,2), то получается замечательное соответствие.
Наматываем 4-мерное пространство на тор $S^1\times S^1\times S^1\times S^1$, и тогда линейные преобразования пространства намотки, сохраняющие объём тора, превращают его в пространство Бервальда-Моора. Аналогично: произведению сфер $S^2\times S^1\times S^1$ соответствует пространство Чернова, произведению сфер $S^3\times S^1$ -пространство Минковского, произведению сфер $S^2\times S^2$ - псевдоевклидово пространство симметричной сигнатуры, и наконец сфере $S^4$ соответствует евклидово пространство. Так мне подсказывает интуиция. Но извините, что не удержался и завёлся со своей излюбленной темой. Можете просто проигнорировать это добавление.

[g______d]

Time в сообщении #560162 писал(а):

Пожалуй, интересно услышать ответ только на один вопрос.
Что лично Вы думаете по поводу аналога соленоидальности векторных полей на евклидовой плоскости, перенесенной на псевдоевклидову плоскость? Надеюсь, что даже если Вы ничего не слышали и сами не занимались этим аспектом, Вы проявите уважение ко мне и хотя бы немного обдумаете ситуацию, перед тем как ответить..
Тем более, что ответ на него, волей не волей, затрагивает еще один момент, на который Вы упорно не хотели обращать внимание во время нашего диалога. А именно, что конформные преобразования евклидовой плоскости связываются не только с двумерной электростатикой, но и с двумерной магнитостатикой.. Заранее спасибо за согласие ответить.

Для начала насчет магнитостатики. Я не вижу между ней и электростатикой (в двумерном случае) никакой принципиальной разницы. Все это разговоры о двумерном уравнении Лапласа. В физических постановках естественными для них будут разные типы краевых условий (хотя, опять же, зависит от материалов), но до таких тонкостей, как я понимаю, в данном случае речь не доходит.

Что лично я думаю по поводу аналога соленоидальности. Ну, насколько я понял, это примерно то же, что понятие $h$-аналитичности. Насколько я понял из обсуждения предыдущей темы (и в некоторые статьи я при этом тоже заглядывал), Вы делаете следующие: вот есть уравнение Лапласа. У него есть решения, соответствующие аналитическим функциям. Потом Вы строите аналоги этих аналитических функций для "двойной переменной", ограничиваясь только элементарными функциями. И говорите, что у получившегося объекта не может не быть физической интерпретации.

Я, в общем, свои мысли по этому поводу выразил в прошлом треде --- извиняюсь за повторение. Не вижу, как может быть убедительным аргумент с переносом некоторого класса (элементарных функций) решений уравнения Лапласа на формульном уровне в решения волнового уравнения. Теоретическая физика --- это свойства уравнений, а не их конкретных решений. Сначала нужно доказать наличие связи между уравнениями, а потом заниматься переносом решений. Но на описываемом уровне свойства уравнений очень разные. Это тоже обсуждалось --- например, свойство однозначного продолжения решений.

Т. е. сначала нужен какой-то общий принцип переноса, а затем уже можно говорить, что переносы конкретных решений имеют физический смысл. И принцип должен быть построен не для элементарных функций, а для некоторого естественно описываемого класса решений. И я верю, что такого принципа быть не может, поскольку уравнения и поведение их решений очень различны.

[Time]

g______d в сообщении #560567 писал(а):

Для начала насчет магнитостатики. Я не вижу между ней и электростатикой (в двумерном случае) никакой принципиальной разницы. Все это разговоры о двумерном уравнении Лапласа. В физических постановках естественными для них будут разные типы краевых условий (хотя, опять же, зависит от материалов), но до таких тонкостей, как я понимаю, в данном случае речь не доходит.

Математически разница может быть и не большая. Для двумерной электростатики, в частности, аналитическая функция задающая комплексный потенциал поля одиночного точечного источника имеет вид:
$F(z)=q ln(z)$
А функция задающая поле одиночного точечного вихря имеет несколько иной вид:
$F(z)=iw ln(z)$
То есть, двумерная электростатика отличается от двумерной магнитостатики примерно так же как вещественные числа отличается от чисто мнимых, а на образах течений идеальной жидкости - как поле с двумерными точечными источниками отличается от полей с двумерными точечными вихрями. Неужели будете настаивать, что с точки зрения физики разницы нет? К тому же есть еще и двумерная электромагнитостатика. Ей, образно выражаясь, можно поставить в соответствие уже не просто вещественные или чисто мнимые числа, а полноценно комплексные. На языке гидродинамики такой ситуации соответствуют течения идеальной жидкости не с источниками и вихрями по отдельности, а вихреисточники и производные от них мультиполи.

Цитата:

Что лично я думаю по поводу аналога соленоидальности. Ну, насколько я понял, это примерно то же, что понятие $h$-аналитичности. Насколько я понял из обсуждения предыдущей темы (и в некоторые статьи я при этом тоже заглядывал), Вы делаете следующие: вот есть уравнение Лапласа. У него есть решения, соответствующие аналитическим функциям. Потом Вы строите аналоги этих аналитических функций для "двойной переменной", ограничиваясь только элементарными функциями. И говорите, что у получившегося объекта не может не быть физической интерпретации.

Правильно поняли, только элементарными функциями для двойной переменной можно не ограничиваться. Просто поля связанные с элементарными функциями наиболее наглядны и именно с них нужно начинать геометрическую и физическую интерпретацию возможностей функций двойной переменной. В частности, утверждается, что функция двойной переменной $h$ имеющая вид:
$F(h)=p ln(h)$
задает комплексный потенциал некоего точечного источника уже не на евклидовой, а на псевдоевклидовой плоскости. Другими словами, это псевдоевклидов аналог точечного двумерного "электрического" заряда, или иначе выражаясь, гиперболический заряд двумерного пространства-времени.
Продолжая эту логику, функцию вида
$F(h)=Im ln(h)$,
где $I^2=+1$ - гиперболически мнимая единица двойных чисел. Векторное поле, соответствующее такому гиперкомплексному потенциалу и есть простейший псевдоевклидов аналог простейшему соленоидальному полю точечного вихря на евклидовой плоскости. Иными словами, такой гиперкомплексный потенциал задает поле двумерного гиперболического монополя.
Мой вопрос о соленоидальности на плоскости двойной переменной относился именно к такому простейшему полю. Его аналоги силовых линий не концентрические окружности, а концентрические гиперболы. И мне было интересно, что Вы на счет таких двумерных полей могли бы сказать конкретного. Может еще раз попробуете?
Вы что, и правда не видите разницы между парой векторных полей на псевдоевклидовой плоскости, одно из которых источникового, а второе гиперболически вихревого типа?
Я еще могу понять сомневающихся, а то и уверенных в отрицательном ответе на вопрос: имеется ли для таких двумерных гиперболических источников и вихрей реальные четырехмерные прототипы? В конце концов, эту дилемму решат натурные эксперименты. Но понять отказывающихся исследовать соответствующие простейшие математические и геометрические объекты псевдоевклидовой плоскости - понять не могу. А ведь именно это Вы, по сути, и делаете, отказывая соответствующим исследованиям в праве иметь фундаментальную математическую мотивацию. А отказывая в математической мотивации таких исследований, Вы автоматически отказываетесь и от возможной физической мотивации для постановки задачи по поиску и четырехмерных физических аналогов уже четырехмерным гиперболическим источникам и вихрям.
Попробуйте не сходу рубить, мол, это все ни на чем не основанные ожидания, а спокойно посмотреть чуть дальше. Ведь дело, естественно не в двумерии, не важно какое оно: евклидово или псевдоевклидово. Основной вопрос в существенно более близких к реальности четырехмерных конструкциях.
Известно, что комплексные числа и комплексный потенциал на них не расширяются с сохранением всех своих замечательный свойств на три евклидовых или четыре псевдоевклидовых измерения. На этот счет есть замечательная теорема Фробениуса. Но она ничего не запрещает для многомерных расширений коммутативного кольца двойных чисел. Уверен, если бы такие расширения до четырехкомпонентных гиперчисел приводили к геометрии пространства Минковского, мы бы с Вами сейчас не дискутировали по поводу наличия/отсутствия мотиваций, а во всю использовали бы соответствующую алгебру и связанный с нею гиперкомплексный потенциал для решения вполне физических задач. Но именно такое расширения двойных чисел и не возможно. Зато ничто не запрещает иное их расширение, причем без какого бы то ни было ущерба для главного качества двойных чисел и связанной с ними геометрии псевдоевклидова пространства-времени. Речь об имеющемся тут бесконечном множестве глобальных конформных преобразований. Причем только из невырожденных таких расширений на сегодня известно три варианта. Одно из них дает алгебру четверных поличисел, являющуюся прямой суммой четырех вещественных алгебр. И точно так же как с самими двойными числами естественным образом связывается геометрия (а я утверждаю, что и физика) двумерного пространства-времени, точно так же с четверными поличислами естественно и просто связывается геометрия (осмелюсь предпологать, что и физика) четырехмерного пространства-времени. Только метрика соответствующего пространства тут получается не та, которую кому-то хотелось бы видеть, то есть:
$S^2=c^2t^2-x^2-y^2-z^2$
а, на первый взгляд, совершенно не физичная, имеющая в базисе аналогичном ортонормированном базису пространства Минковского, просто устрашающе длинный вид:
$S^4=C(t_1^4+t_2^4+t_3^4+t_4^4-2(t_1^2t_2^2+t_1^2t_3^2+t_1^2t_4^2+t_2^2t_3^2+t_2^2t_4^2+t_3^2t_4^2)+8t_1t_2t_3t_4)$
Спрашивается, можно ли именно из этой метрики извлечь что ни будь ценного как в математическом плане, так в геометрическом, а при возможности, еще и в физическом? Вы говорите, что нельзя. Фигово, мол, то-то, то-то и то-то. Я и мои товарищи утверждаем, что можно. Более того, многое во всех трех направлениях уже сделано. То, что сделанное действительно представляет интерес, подтверждают специалисты в области финслеровых пространств. Отрицательные же заявления звучат исключительно от не специалистов, основанные как правило на их математической и физической интуиции, заточенной под обычные квадратичные геометрии. Разве так можно?
Попробуйте набраться немного сомнения в собственной правоте и просто поработать с имеющимися четырехмерными объектами. В частности, рассмотрите поле, которое является четырехмерным аналогом поля двумерного точечного источника, то есть, задаваемое гиперкомплексным потенциалом на четверных числах $H_4$:
$F(H_4)=p ln(H_4)$
Надеюсь, даже без опыта работы с четырехмерными финслеровыми пространствами с метрикой Бервальда-Моора, легко понять, что это поле одиночного гиперболического точечного источника, являющегося естественным расширением двумерного гиперболического точечного источника на псевдоевклидовой плоскости. С ответом на вопрос: "На сколько такие объекты имеют аналоги в реальном четырехмерии?" - вполне можно повременить. Поразвлекаться, так сказать, с одними математическими и геометрическими конструкциями..
Следующее, что приходит на ум - это рассмотреть четырехмерные гиперболические вихри, которые при желании можно именовать гиперболическими четырехмерными монополями. Надеюсь, почти очевидно, что гиперкомплексные потенциалы соответствующих векторных полей должны иметь вид:
$F_1(H_4)=Im_1 ln(H_4)$
$F_2(H_4)=Jm_2 ln(H_4)$
$F_3(H_4)=Km_3 ln(H_4)$
Что особенно интересно, обычные магнитные монополи, во всяком случае те, как их понимают некоторые физики, еще большой вопрос что существуют, тогда как описанные выше четырехмерные гиперболические вихревые монополи, по крайней мере в рамках конкретного математического финслерова пространства, точно имеются и могут очень даже подробно изучаться. Если в чем и можно сомневаться, так это в том, стоЯт ли за ними какие-то реальные физические объекты, но это вопрос уже к экспериментаторам.
Как и на комплексной плоскости, отталкиваясь лишь от одной элементарной аналитической функции логарифм можно построить практически любую аналитическую функцию, которая будет являться либо суперпозицией множества логарифмов со своими обильностями (весовыми коэффициентами), либо производными, либо интегралами. По сути это напоминает разложение функции в ряд Лорана, только в данном случае, переменная не вещественная или комплексная, а гиперкомплексная. На уровне геометрического восприятия данного приема все сводится к четырехмерным пространственным комбинациям множества гиперболических источников и вихревых монополей, а так же множества мультиполей разного уровня. Распределения таких особенностей так же не обязаны быть дискретными множествами, как и на комплексной плоскости, можно рассматривать и непрерывные распределения мультиполей.
От четырехмерного пространства с финслеровой метрикой Бервальда-Моора достаточно естественно и относительно просто можно перейти к связанной с ней метрикой пространства Минковского. Как объясняли мне физики, соответствующая процедура носит название соприкосновения вдоль опорного векторного поля. После первого этапа проведения такой операции из метрики с четвертыми степенями компонент получается кубическая метрическая функция, а после применения дважды - квадратичная. Что интересно, если функция заданная на четверных числах аналитическая, в качестве автоматического следствия такой процедуры всегда получается четырехмерное плоское пространство-время Минковского, но если функция не аналитическая, то поучается уже собственно кривое псевдориманово пространство-время, метрика которого имеет сигнатуру (+,-,-,-). Пока не очень понятны физические основания к проведению такой процедуры, но сам факт и его последствия, на мой взгляд, говорят, что такие основания рано или поздно найдутся. Если, конечно, их искать, а не говорить как Вы, мол, нет никакой мотивации..

Цитата:

Не вижу, как может быть убедительным аргумент с переносом некоторого класса (элементарных функций) решений уравнения Лапласа на формульном уровне в решения волнового уравнения.

Надеюсь Вы знакомы с фактом, что если конструировать некое поле на комплексной плоскости произвольным образом размещая на ней источники, стоки, вихри, мультиполи, на формульном уровне воплощающееся в переходе от элементарных функций к произвольным аналитическим, получающееся в итоге поле является в обязательном порядке решением двумерного уравнения Лапласа. Аналогичным образом обстоят дела и на плоскости двойной переменной с той разницей, что уравнение Лапласа тут заменяется двумерным уравнением Даламбера. При этом не обязательно ограничиваться одними конформными преобразованиями, можно захватить и квазиконформные. В этом случае возникает связь уже не с уравнениями двумерного Лапласа или Даламбера, а с уравнениями Пуассона, кажется. Почти так же обстоят дела и в случае с четырехмерным пространством четверных чисел. Только фундаментальное уравнение тут не второго порядка, как Лапласа и Даламбера, а четвертого. Его вид тесно связан с метрикой вида (1), выписанной ранее. Его решениями всегда и оказываются те поля, которые конструируются из конечного или бесконечного множества четырехмерных гиперболических источников и гиперболических вихрей. И тут так же в параллели с таким контруированием возникают аналитические функции, существенно более сложные чем просто элементарные. Их множество бесконечномерно. Но и это еще не предел. Принципиально нет особых сложностей перейти от аналитических функций к более сложно устроенным. Для связанных с ними преобразований инвариантом оказываются уже не углы, а полиуглы, которых не было в квадратичных геометриях. Такие функции при переходе от метрики четвертого порядка к квадратичной, порождают как я писал выше уже кривые псевдоримановы пространства. В частности, можно задаться вопросом, как должна выглядеть неаналитическая функция от четверных чисел, что бы в соприкасающемся псевдоримановом пространстве появлялись метрики Фридмана, Шварцшильда, Кэрра и Ньюмена.. Именно этот момент я имел ввиду, когда говорил о точных решениях уравнений Эйнштейна и их связи с двумерными задачами. С атомом водорода, полагаю, ситуация несколько иная, но "рыть" думаю нужно именно в этом направлении. Да и вообще квантовая механика при естественном использовании возможностей финслерова пространства четверных чисел могла бы существенно видоизмениться и во многом упроститься. Но ведь для этого нужно, что бы кто-то этим занялся, а у нашей маленькой группы на все это не хватает ни времени, ни сил, ни средств. У других же, как Вы говорите, не хватает мотивации..

Цитата:

Теоретическая физика --- это свойства уравнений, а не их конкретных решений. Сначала нужно доказать наличие связи между уравнениями, а потом заниматься переносом решений. Но на описываемом уровне свойства уравнений очень разные. Это тоже обсуждалось --- например, свойство однозначного продолжения решений.

Двойные и четверные числа это многомерные расширения алгебры действительных чисел. Со всеми из этого вытекающими достоинствами и недостатками. Одно из них - алгебраическая не замкнутость. То есть, не все алгебраические уравнения в таких числах имеют корни. Что бы выйти на аналог основной теоремы алгебры и каждое алгебраическое уравнение имело конкретное число корней, необходимо поступить как и с действительными числами. То есть, перейти из вещественной в комплексную область. Думаю, желаемое Вами свойство единственности аналитического продолжения нужно требовать не от функций над $H_n(R)$, а от их комплексных расширений $H_n(C)$. Но ведь нельзя делать все сразу. И комплексные числа появились в математике только тогда, когда более менее разобрались со многими свойствами и возможностями действительных чисел.

Цитата:

Т. е. сначала нужен какой-то общий принцип переноса, а затем уже можно говорить, что переносы конкретных решений имеют физический смысл.

Если говорить о неком фундаментальном принципе для поиска уравнений, геометрий и объектов, при использовании которых можно надеяться получить физически интерпретируемые результаты, могу еще раз сказать словами С.Вайнберга: "Важны не вещи, а принципы симметрий". От себя хочу лишь немного конкретизировать данный принцип: под симметриями должны пониматься метрически выделенные преобразования пространств, обладающих максимальным их разнообразием. На сегодня, как самые богатые на непрерывные и дискретные симметрии, я знаю только четырехмерные финслеровы пространства связанные с поличислами (не только четверные, есть еще несколько). В связи с последним обстоятельством можно сформулировать данный принцип и несколько иначе, примерно так, как утыерждал Пифагор: "Все сущее - суть числа". Немного так же добавлю от себя. Числа, естественно, не рациональные, а коммутативно-ассоциативные гиперкомплексные, то есть, поличисла с четырьмя вещественными или комплексными измерениями. Причем последние заведомо более интересные.

Цитата:

И принцип должен быть построен не для элементарных функций, а для некоторого естественно описываемого класса решений. И я верю, что такого принципа быть не может, поскольку уравнения и поведение их решений очень различны.

А я верю, что такой принцип может быть сформулирован и даже привел примеры двух немного отличающихся вариантов. Только Ваша вера принципиально не может быть подтверждена, тогда как моя приводит к идее не только теоретической, но и экспериментальной проверки. Более того, кое что мы в этом направление уже сделали. Про замечание в ограниченности одними элементарными функциями уже сказал выше. Никто ими и не ограничивается, просто идти логичнее от простого к сложному, от частного к общему, а не наоборот, как бы этого не хотелось..
Снова получилось чрезмерно длинно, но я не знаю как о мало известном Вам предмете писать в трех строчках..

[g______d]

Еще раз. Я утверждаю, что не существует математически естественного принципа переноса между решениями уравнения Лапласа и уравнения Даламбера.

По той же причине, по которой не существует естественного соответствия между аналитическими функциями одной комплексной переменной (или любым конечным их числом) и парами (или любыми конечными наборами) гладких функций одной вещественной переменной.

-- 16.04.2012, 19:50 --

Речь пока идет о двумерном случае, разумеется.

[Oleg Zubelevich]

а мне интересно мощь этой всей науки можно на каких-то хотя бы решенных задачах продемонстрировать. Вот, дескать вы тут мучились 20 страниц исписали, а у наc вот тот же результат пять строчек занял, ну или что-нибудь в этом роде? Мне, конечно было бы легче пример из классической механики воспринять

[Time]

g______d в сообщении #560760 писал(а):

Еще раз. Я утверждаю, что не существует математически естественного принципа переноса между решениями уравнения Лапласа и уравнения Даламбера.

И что из этого неприятного следует для возможных физических интерпретаций функций двойной переменной? Что не для всех них можно указать физический смысл аналогичный физическому смыслу соответствующих аналитических функций комплексной переменной?

Предположим, что Вы правы и между решениями уравнений двумерного Лапласа и двумерного Даламбера не возможно установить взаимнооднозначного соответствия (хотя поскольку вторых вроде бы как существенно больше, не видно причин, почему бы нельзя было бы так ограничить число последних, что бы на оставшейся части все было взаимнооднозначно). Что это меняет в принципе? Что аналитические функции двойной переменной не будут при этом иметь физических интерпретаций? Ведь именно последний момент существенен, а не то, есть ли естественные методы переноса между решениями двумерного Лапласа и Даламбера. Кому как, а мне вполне достаточно для начала рассматривать только такие функции двойной переменной, которые однозначно соответствуют аналитическим функциям комплексной переменной. Вы же на основании того, что множество конформных преобразований на двойной плоскости существенно шире, чем на комплексной, готовы вообще закрыть глаза на наличие физических интерпретаций вообще у всех функций от $H_2$. А закрывая глаза на наличие возможного физического смысла хотя бы у некоторых функций от $H_2$, Вы даже попытки не делаете рассматривать их аналоги уже в четырех измерениях. Разве такая позиция конструктивна?
Извините, но хочу напомнить, что хотелось бы все же услышать Ваши мысли на счет гипотетического поля гиперболического точечного вихря на плоскости двойной переменной. В предыдущих постах я таких мыслей, к сожалению, так и не увидел.

[g______d]

Мое мнение о гиперболическом точечном вихре --- то, что это объект, полученный из функции $\ln z$ некоторой процедурой (вроде формальной замены в ряде Лорана комплексной переменной на двойную), и я не считаю, что эта процедура естественна.

Мы и в прошлый раз договорились, что да, можно сделать такой формальный перенос и сузить класс функций двойной переменной до тех, которые получаются из обычных голоморфных функций этой процедурой переноса. Но такая процедура переноса не является естественной причиной заниматься теорией таких функций. Нужно описать их каким-то образом во внутренних терминах псевдоевклидова пространства, не привлекая внешнее евклидово пространство. Но я думаю, что попытка написать уравнение, выделяющие такие функции, либо ни к чему ни приведет, либо приведет к классическому уравнению Лапласа, и от псевдоевклидовости ничего не останется.