Конференция по финслеровой геометрии

[schekn]

Time в сообщении #552229 писал(а):

Что касается лекций Сипарова и других на одной из прошедших школ, то их можно почитать на странице:
http://www.hyper-complex.ru/files/pages ... es_rus.pdf
(объем 32 МБ)
Кроме того недавно вышла его книга:
http://books.google.lt/books/about/Intr ... edir_esc=y
По поводу проблематичности добраться до базы на "Лесном озере", то в чем конкретно проблема? Если только в затратах на дорогу, это в принципе решаемый вопрос.. Хуже, если дифицит времени или желания..

Спасибо за ссылки. Мне казалось у Вас надо платить за проживание, а оно подорожало.

[Time]

schekn в сообщении #556276 писал(а):

Спасибо за ссылки. Мне казалось у Вас надо платить за проживание, а оно подорожало.

В объявлении же вроде достаточно ясно написано:
" Проживание участников планируется обеспечить в гостиничном комплексе "Сосновый бор" (г.Фрязино, ~100 $/сутки), а так же в гостевых домиках Муниципального образовательного учреждения г.Королев "Лесное озеро" (пос.Литвиново, бесплатно для участников). "

То есть, кто не против пожить во время конференции в нашем здании на "Лесном озере" (это несколько более спартанские условия, чем в гостиннице, а представление о здании можно получить здесь: http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... school.pdf) - то бесплатно. Обычно и с компенсацией затрат на дорогу старались всем желающим помогать..

[bayak]

Time в сообщении #555881 писал(а):

Наврали. Причем безбожно.

Хорошо, тогда давайте разбираться.

Сначала разберем случай $\mathbb{H}_{3}$. Здесь мы имеем группу таких диагональных матриц

$\left( \begin{array}{ccc} e^{a} & 0 & 0 \\ 0 & e^{b} & 0 \\ 0 & 0 & e^{c} \end{array} \right),$

что $a+b+c=0$. Она порождается своими подгруппами:

$\left( \begin{array}{ccc} e^{\alpha} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-\alpha} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right),$

$\left( \begin{array}{ccc} e^{\beta} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & e^{-\beta} \end{array} \right),$

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{\gamma} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-\gamma} \end{array} \right).$

Для того, чтобы получить всю группу достаточно и двух подгрупп, но размерность этой 2-параметрической группы определяется не этим, а тем, что ее алгебра Ли имеет размерность 2. Действительно, запишем базисные элементы алгебры, которые вычисляются взятием производных матричных элементов вышеперечисленных матричных подгрупп в точках $\alpha=\beta=\gamma=0$:

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right),$

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right),$

$\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right).$

Откуда хорошо видно, что поскольку только две из трех матриц линейно независимы, то алгебра с этими образующими двумерна, а следовательно ей соответствует двухпараметрическая группа Ли.

Теперь запишем маломерные подгруппы и соответствующие им алгебры Ли в моем случае. Итак, там мы имеем группы Ли:

$\left( \begin{array}{ccc} \cos\alpha & \sin\alpha & 0 \\ -\sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right),$

$\left( \begin{array}{ccc} e^{\beta} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & e^{-\beta} \end{array} \right),$

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{\gamma} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-\gamma} \end{array} \right),$

и соответствующие им алгебры Ли:

$\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right),$

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right),$

$\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right).$

Откуда хорошо видно, что все три последние матрицы линейно независимы, а следовательно, образуемая ими алгебра и группа Ли трехмерна. При этом легко заметить, что группа Ли линейных преобразований пространства $\mathbb{H}_{3}$ входит в эту группу в качестве подгруппы.

Time, мне бы хотелось настоятельно рекомендовать Вам (Вашей группе) обратить внимание на эти новые, или может быть старые, но хорошо забытые, финслеровы пространства.

[Time]

bayak в сообщении #557329 писал(а):

Time, мне бы хотелось настоятельно рекомендовать Вам (Вашей группе) обратить внимание на эти новые, или может быть старые, но хорошо забытые, финслеровы пространства.

Предлагаемое Вами второе пространство (первое - обычный трехмерный псевдоевклид и давно изучено вдоль и поперек), не имеет той группы изометрических преобразований, что Вы ему приписываете. Что бы убедиться в этом, достаточно взять произвольный вектор $A(X,Y,Z)$, преобразовать его компоненты, в частности, $X$ и $Z$ (получить их численно при заданных начальных величинах и параметра преобразования), в соответствии с теми законами, что Вы предполагаете в качестве изометрических преобразований и подставить в формулу для четвертой степени интервала. Если преобразование из множества изометрических, то четвертая степень длины вектора $A$ до преобразования и после не изменится. Вы же пользуетесь некими формулами, даже не понимая их смысла. В таком случае лучше проверять свои утверждения в лоб. Если б Вы это сделали перед тем, как писать предыдущий пост, было бы на много лучше..

[bayak]

Time в сообщении #558191 писал(а):

В таком случае лучше проверять свои утверждения в лоб. Если б Вы это сделали перед тем, как писать предыдущий пост, было бы на много лучше..

Да уж, поторопился.

[Time]

Трехмерное финслерово пространство с метрикой:
$R^4=(X^2+Y^2)Z^2$
Вряд ли вообще хоть чем ни будь замечательное. Я еще мог бы понять, если б Вы предлагали поизучать метрику вида:
$R^3=(X^2+Y^2)Z$
Эта метрика связана с коммутативно-ассоциативными трехкомпонентными гиперкомплексными числами, алгебра которых является прямой суммой одной комплексной и одной действительной алгебр. Тут двухпараметрическая группа вращений, 5-параметрическая группа изометрических преобразований и бесконечномерная группа конформных преобразований. Делители нуля тут лежат в одной плоскости $Z=0$ и на одной прямой пересекающей эту плоскость в точке (0,0,0). Есть в этом пространстве возможность ввести непротиворечивым образом понятие угла (естеcтвенно, не полностью совпадающее с понятием угла в римановых или псевдоримановых пространствах, но являющееся их естественным обобщением), но самое главное, можно определеить понятие трингла, что в принципе позволяет изучать и нелинейные преобразования, имеющие этот трингл в качестве инварианта. Но Вы ведь не это пространство нам предлагали, а совсем иное, причем не показав ни одного из его, якобы, выдающихся геометрических или алгебраических свойств..
Можно еще такую интересную метрику рассмотреть:
$R^4=(X^2+Y^2)ZT$,
но это уже не трех-, а четырехмерное пространство. Оно, кстати, очень интересно, так как связанная с ним коммутативно-ассоциативная алгебра включает в качестве подалгебр комплексную и двойную алгебры. В каком-то смысле эту алгебру можно рассматривать как аналог расширения действительных чисел до комплексных, но в данном случае вместо действительных чисел тут расширяется множество двойных чисел. Группа вращений тут абелева трехпараметрическая. Конформные преобразования образуют бесконечную группу. Есть тринглы и более сложные полиуглы. Вот таким пространством мы с удовольствием занимаемся и вполне понятны мотивы, почему..
Но самая интересная метрика из четырехмерных (естественно, если не трогать метрику Бервальда-Моора) имеет вид:
$R^4=(X^2+Y^2)(Z^2+T^2)$.
Надеюсь, теперь Вы сами можете понять, почему...
Заранее только предупрежу, что группа вращений у соответствующего пространства беднее, чем группа Лоренца, так как абелева и всего трехпараметрическая, зато конформные и более сложные метрически выделенные преобразования неизмеримо превосходят конформную группу пространства Минковского. И обычная группа Лоренца является подгруппой этой бесконечной конформной группы. Именно тут и в аналогичных метриках "рыть" нужно.. Но начинать все равно нужно с $H_3$, в противном случае казусы будут только множиться, а продвижение вперед совсем не гарантированно..

[bayak]

Time в сообщении #558242 писал(а):

Трехмерное финслерово пространство с метрикой:
$R^4=(X^2+Y^2)Z^2$
Вряд ли вообще хоть чем ни будь замечательное.

Но позвольте мне всё же исправить ошибку в вычислениях.

Итак, маломерных групп тут две:

$\left( \begin{array}{ccc} \cos\alpha & \sin\alpha & 0 \\ -\sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right),$

$\left( \begin{array}{ccc} e^{\beta} & 0 & 0 \\ 0 & e^{\beta} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-\beta} \end{array} \right),$

и им соответствуют два линейно независимых элемента алгебры Ли:

$\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right),$

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right).$

Поэтому в результате, как Вы и говорили, мы имеем двухпараметрическую группу изометрических симметрий этого ничем непримечательного пространства.

[bayak]

Time в сообщении #558242 писал(а):

Я еще мог бы понять, если б Вы предлагали поизучать метрику вида:
$R^3=(X^2+Y^2)Z$
Эта метрика связана с коммутативно-ассоциативными трехкомпонентными гиперкомплексными числами, алгебра которых является прямой суммой одной комплексной и одной действительной алгебр. Тут двухпараметрическая группа вращений, 5-параметрическая группа изометрических преобразований и бесконечномерная группа конформных преобразований. Делители нуля тут лежат в одной плоскости $Z=0$ и на одной прямой пересекающей эту плоскость в точке (0,0,0). Есть в этом пространстве возможность ввести непротиворечивым образом понятие угла (естеcтвенно, не полностью совпадающее с понятием угла в римановых или псевдоримановых пространствах, но являющееся их естественным обобщением), но самое главное, можно определеить понятие трингла, что в принципе позволяет изучать и нелинейные преобразования, имеющие этот трингл в качестве инварианта. Но Вы ведь не это пространство нам предлагали, а совсем иное, причем не показав ни одного из его, якобы, выдающихся геометрических или алгебраических свойств..

Однако это пространство мало чем отдичается от предыдущего. Судите сами, в соответствующей алгебре Ли немного отличается только один базисный элемент:

$\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right),$

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right).$

Что касается других предложенных Вами к рассмотрению финслеровых пространств, то я вернусь к ним чуть позже.

[Time]

bayak в сообщении #558499 писал(а):

Однако это пространство мало чем отдичается от предыдущего.

Угу.. Какие гиперкомплексные числа ему соответствуют? Какая группа конформных преобразований у него? Скалярные полипроизведения сравнивать не пробовали?

[bayak]

Разве финслерово пространство не может существовать без алгебры? Конечно финслерово пространство, для которого находится определяющая его алгебра, вызывает большее уважение, но можно ведь обойтись и без алгебры, а изучать дополнительные алгебро-геометрические структуры финслерова пространства. Например, если у нас имеется финслерово пространство с метрикой $r^4=(x^2-t^2)z^2$, то подпространство $(x,t)$ можно считать базой, а пространство $z$, свёрнутое в окружность, считать слоем, имеющим структуру группы $U(1)$. Так (с помощью финслерова пространства) можно задать калибровочную связность и в пространстве Минковского.

[Time]

bayak в сообщении #559401 писал(а):

Разве финслерово пространство не может существовать без алгебры? Конечно финслерово пространство, для которого находится определяющая его алгебра, вызывает большее уважение, но можно ведь обойтись и без алгебры, а изучать дополнительные алгебро-геометрические структуры финслерова пространства.

Конечно, финслерово пространство может существовать без связанной с ним алгебры. (Почему такие пространства не перспективны, постараюсь объяснить чуть позже.) Но есть и такие финслеровы пространства, у которых есть алгебры, но они все равно не шибко интересны. Дело не просто в связи с алгебрами, дело в непрерывных симметриях. Алгебру (но не всякую) можно просто считать наиболее явным признаком наличия или отсутствия этих самых симметрий. Причем не только линейных, тесно связанных с законами сложения и умножения, но и нелинейных, в частности, конформных, которые в алгебре отыгрываются существованием бедного или богатого множества аналитических функций. Но и конформными симметриями дело не ограничивается. В некоторых многомерных финслеровых пространствах, число измерений которых совпадает с "арностью" метрической формы, к длинам и углам добавляются тринглы и другие полиуглы, а вместе с ними и более инетерсные нелинейные непрерывные симметрии, чем конформные, а тем более, изометрические. Симметрии важны. Они и только они. А алгебры лишь автоматическое следствие богатства или бедности разных симметрий. В "Вашем" пространстве симметрий кот наплакал, особенно конформных (про тринглинвариантные ничего не скажу, но думаю, что и их не много). И потому это пространство, на мой взгляд, не имеет ни одного шанса тягаться, в частности с трехмерным Бервальдом-Моором за лушие и даже сколь ни будь хорошие перспективы. Впрочем, Вы можете не верить моей убежденности и тратить сколько угодно времени на изучение такого слабого на симметрии пространства. Это дело Вашего выбора, Вам за него, в конце концов, и расплачиваться. В частности, напрасно потраченными силами..

[bayak]

Time в сообщении #559448 писал(а):

Симметрии важны. Они и только они.

А Вас не настораживает то, что евклидово пространство (или пр-во Минковского) в силу своей метрики не допускает широкого класса конформных преобразований? Вполне может быть, что в природе эти симметрии не так уж и важны.

[Time]

bayak в сообщении #559468 писал(а):

А Вас не настораживает то, что евклидово пространство (или пр-во Минковского) в силу своей метрики не допускает широкого класса конформных преобразований?

Во-первых, не всякое евклидово или псевдоевклидово пространство не допускаeт широкого класса конформных преобразований. Например, двумерные римановы и псевдоримановы многообразия имеют бесконечнопараметрические группы конформных преобразований. Обратите внимание, что тут размерность пространства совпадает с размерностью метрической формы (думаю, что это необходимое, но не достаточное обстоятельство).
Во-вторых, именно двумерные пространства с квадратичным типом метрической функции оказались наиболее плодотворными в физике. На них строятся теории комплексного потенциала и наиболее успешные квантовомеханические модели. Именно к двумерным случаям сводятся такие успехи физики, как совпадения теории и эксперимента для атома водорода или физически интерпретируемые решения уравнений Эйнштейна.
В-третьих, никто же не говорит, что пространства с неидеальным набором симметрий вообще не пригодны для физических моделей, особенно те, симметрии которых хотя бы частично совпадают с самыми явными законами реального мира. Это мы и наблюдаем. Многомерные пространства с квадратичным типом метрики обладают изометрическими симметриями совпадающими с частью законов сохранения, открытых и многократно подтвержденных в экспериментах. Но работать только с такими пространствами в надежде, что они и окажутся самыми удобными, на мой взгляд, опрометчиво. Пространства, у которых среди более богатого разнообразия симметрий, обычные группы Лоренца, Пуанкаре или SU(2), SU(3) являются всего лишь подгруппами более сложных метрически выделенных преобразований - имеют заведомо более хорошие шансы для применений в физике, чем те пространства, в которых только такие группы и есть, а то еще и не все вместе..

[g______d]

Time в сообщении #559522 писал(а):

Например, двумерные римановы и псевдоримановы многообразия имеют бесконечнопараметрические группы конформных преобразований.

Это неправда. Вам уже объясняли, почему. В частности, конформная группа риманова многообразия всегда конечномерна. Тем не менее, Вы продолжаете говорить неверные утверждения. Видимо, потому что у себя в журнале написали, а исправлять не хотите.

Time в сообщении #559522 писал(а):

Во-вторых, именно двумерные пространства с квадратичным типом метрической функции оказались наиболее плодотворными в физике.
На них строятся теории комплексного потенциала и наиболее успешные квантовомеханические модели. Именно к двумерным случаям сводятся такие успехи физики, как совпадения теории и эксперимента для атома водорода или физически интерпретируемые решения уравнений Эйнштейна.

Можно про атом водорода подробнее? Что там двумерно? И какое отношение это имеет к конформным преобразованиям?

Теория комплексного потенциала плодотворна в том смысле, что делает многие двумерные модели точно решаемыми. А можете ли Вы привести хотя бы одно физическое утверждение, связанное с двумерными конформными симметриям в евклидовом случае? Пока что, насколько я понимаю, Вы выдавали способ решения задач за фундаментальный физический закон. И этим мотивировали важность бесконечномерности пространства конформным преобразований.

[bayak]

Наверно g______d возражает Time обосновано, но лучше объединять усилия, чем обвинять.

Пусть у нас имеется псевдоевклидова плоскость $(x,t)$, но мы бы хотели её так преобразовать, чтобы получилась псевдориманова плоскость $(x',t')$, которая соответствовала бы гравитационной деформации пространства-времени. Разве не справедливо, что $t'=e^{\varphi(x,t)}t$, $x'=e^{-\varphi(x,t)}x$, и разве это не локальные финслеровы повороты в пространстве с метрикой $r^2=xt$? Получается, что гравитационный потенциал сродни финслерову повороту, и эту аналогию легко распространсить на пространство Минковского, если гравипотенциал сравнить с финслеровым поворотом в пространстве с метрикой $r^4=(x^2+y^2+z^2)t^2$.