Нужен пример неплоской кривой, у которой кручение равно нулю

[g______d]

Действительно, я облажался. Определения нужно иногда читать.

-- 11.04.2012, 13:47 --

Спасибо.

[Munin]

(Оффтоп)

nastya2011 в сообщении #558958 писал(а):

Munin, эээ, а вас мой ник не смущает?

Меня вообще никакие ники не смущают. Хоть asdfghjkl. Я на содержимое головы смотрю, а не на ники.

Впрочем, если Oleg Zubelevich девушка, это кое-что объясняет в его поведении...

Padawan в сообщении #558964 писал(а):

Там, где участок прямой, кручение не определено.

Коварно. Будем знать. Жаль, конечно, что мы не заслушали начальника транспортного цеха...

Padawan в сообщении #558964 писал(а):

Вы вашу кривую никак не зададите натуральными уравнениями с нулевым кручением.

По-моему, задам. Только не однозначно. Это как определения нарисовать: то ли в натуральном уравнении кривизна должна быть не нулевой, чтобы вообще называть его натуральным уравнением, то ли это возникает как дополнительное требование в теореме, что по натуральным уравнениям кривая определяется однозначно. Не думаю, что это принципиальный вопрос.

[Padawan]

Munin в сообщении #558983 писал(а):

Padawan в сообщении #558964 писал(а):

Вы вашу кривую никак не зададите натуральными уравнениями с нулевым кручением.

По-моему, задам. Только не однозначно. Это как определения нарисовать: то ли в натуральном уравнении кривизна должна быть не нулевой, чтобы вообще называть его натуральным уравнением, то ли это возникает как дополнительное требование в теореме, что по натуральным уравнениям кривая определяется однозначно. Не думаю, что это принципиальный вопрос.

Кривая по натуральному уравнению определяется однозначно. Обратно верно только если кривизна кривой отлична от нуля. По-моему кручение вообще определено только в тех точках, где кривизна не нулевая.

[alcoholist]

Padawan в сообщении #558987 писал(а):

По-моему кручение вообще определено только в тех точках, где кривизна не нулевая.

да

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #558926 писал(а):

Это не вы, надеюсь, девушка?

Munin в сообщении #558983 писал(а):

Впрочем, если Oleg Zubelevich девушка, это кое-что объясняет в его поведении...

Вынося за скобки ваши эротические фантазии на мой счет, я отвечу вам словами классика: кому и кобыла невеста.

[Toucan]

Munin, Oleg Zubelevich, замечания за оффтопик и "обмен любезностями"

[Sefko]

Что-то я как-то ничего не понял. Возможно, что это объясняетется тем, что "ничего" включает и саму постановку задачи. Тем не менее...

Если справедливо, что любая кривая с тождественно равным нулю кручением - плоская (а у меня как-то справедливость этого утверждения сомнений не вызывает), то что же обсуждается на этой ветке?

Особую загадочность для меня представляют идеи что-то где-то поломать: определение кручения опирается на касательные (и плоскость и прямую!!!), а я как-то привык к тому, что в точках излома касательная прямая не определена. Или где?

[Joker_vD]

Как я понял, Munin предлагает в качестве решения "кривая, у которой кривизна равна нулю во всех точках, где она (кривизна) определена". Остальные возражают, что нужна "кривая, у которой всюду определена кривизна, которая всюду же равна нулю", а такая штука явно плоская...

[Sefko]

Joker_vD в сообщении #559096 писал(а):

Как я понял, Munin предлагает в качестве решения "кривая, у которой кривизна равна нулю во всех точках, где она (кривизна) определена". Остальные возражают, что нужна "кривая, у которой всюду определена кривизна, которая всюду же равна нулю", а такая штука явно плоская...

Вы, видимо. имели в виду не "кривизну", а "кручение".
Если принять эту поправку, то лично мне предмет обсуждения все равно не становится понятным.

Во-первых, требуется привести пример неплоской кривой, у которой кручение равно нулю. В точках, в которых кручение не определено, оно не равно нулю.

Во-вторых, если даже допустить наличие "нехороших" точек (формулировка задачи все же достаточно вольная с математической точки зрения), то все равно остается непонятно, о чем спорить: слепили два фрагмента "нехороших" плоских кривых, лежащих в разных плоскостях, и все дела - о чем спорить?

[Munin]

Joker_vD в сообщении #559096 писал(а):

Как я понял, Munin предлагает в качестве решения "кривая, у которой кривизна равна нулю во всех точках, где она (кривизна) определена". Остальные возражают, что нужна "кривая, у которой всюду определена кривизна, которая всюду же равна нулю", а такая штука явно плоская...

Нет, как раз не всюду, а на отрезке.

И не путайте кривизну и кручение.

Возьмём произвольую (гладкую) кривую. Для неё во всех точках определена кривизна. Там, где она не равна нулю - определено и кручение. В обратную сторону, можно задать ненулевую (и неотрицательную) кривизну и какое-то кручение, и это однозначно нам задаст локальный участок кривой; либо можно задать нулевую кривизну, и это точто так же однозначно задаст кривую, но кручение здесь задавать в принципе нельзя, потому что оно не определено. Впрочем, можно записать уравнение, в каком-то смысле аналогичное натуральному уравнению кручения, если помножить исходное уравнение на знаменатель. Тогда получится, что "функцию кручения" мы задать можем, и притом произвольно - она на результат не будет влиять.

Обсуждается конструкция "кривой плоский участок - прямой участок - кривой плоский участок", которая может быть в целом неплоской. Но как бы мы ни задавали функции и ни записывали уравнения, пусть даже "разрешённым" способом, решить мы их не сможем: на протяжении плоского участка кривая "забудет", в какой плоскости лежала, и когда кривизна снова станет ненулевой, не будет знать, куда поворачиваться.

Так что, нельзя записать как единую задачу последовательные участки разных типов. Или можно записать, но не решить, обломаться с теоремой о существовании и единственности решения.

[Алексей К.]

В таком обсуждении надо, наверное, выражаться точнее.

Munin в сообщении #559172 писал(а):

Возьмём произвольую (гладкую) кривую. Для неё во всех точках определена кривизна.

Нет: дугу окружности $AB$ в конечной точке продолжим прямой $BC$ по касательному вектору в точке $B$ (или окружностью другой кривизны, противоположной, например). Полученная кривая гладкая, кривизна в точке $B$ не определена.

Padawan в сообщении #558987 писал(а):

Кривая по натуральному уравнению определяется однозначно. Обратно верно только если кривизна кривой отлична от нуля.

Когда говорят "по натуральнОМУ уравнениЮ" (в ед. числе), мне представляется, что обсуждается плоская кривая (и там никаких ограничений на знак кривизны нет). А если обсуждается пространственная кривая, то надо говорить как-то во множественном числе; например, "определена парой натуральных уравнений". Я так редко читал о пространственных кривых, что даже не знаю обычных штампов.

[Padawan]

Алексей К. в сообщении #559259 писал(а):

А если обсуждается пространственная кривая, то надо говорить как-то во множественном числе; например, "определена парой натуральных уравнений".

Да, прошу прощения.

[Munin]

Алексей К. в сообщении #559259 писал(а):

Полученная кривая гладкая, кривизна в точке $B$ не определена.

Да, я имел в виду "почти всюду", прошу прощения.

[BVR]

В теореме говорится: СВЯЗНАЯ гладкая линия является плоской т. и т. тогда, когда кручение ее в каждой точке рано нулю. Поэтому надо взять несвязную линию. Например, две "скрещивающиеся" синусоиды. Эта линия состоит из двух элементарных линий (гомеоморфных интервалу)

[Padawan]

BVR в сообщении #559701 писал(а):

Поэтому надо взять несвязную линию.

Гениально!