2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Дифференциальная геометрия (кривизна, кручение)
Сообщение11.04.2012, 12:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Действительно, я облажался. Определения нужно иногда читать.

-- 11.04.2012, 13:47 --

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия (кривизна, кручение)
Сообщение11.04.2012, 13:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

nastya2011 в сообщении #558958 писал(а):
Munin, эээ, а вас мой ник не смущает?

Меня вообще никакие ники не смущают. Хоть asdfghjkl. Я на содержимое головы смотрю, а не на ники.

Впрочем, если Oleg Zubelevich девушка, это кое-что объясняет в его поведении...


Padawan в сообщении #558964 писал(а):
Там, где участок прямой, кручение не определено.

Коварно. Будем знать. Жаль, конечно, что мы не заслушали начальника транспортного цеха...

Padawan в сообщении #558964 писал(а):
Вы вашу кривую никак не зададите натуральными уравнениями с нулевым кручением.

По-моему, задам. Только не однозначно. Это как определения нарисовать: то ли в натуральном уравнении кривизна должна быть не нулевой, чтобы вообще называть его натуральным уравнением, то ли это возникает как дополнительное требование в теореме, что по натуральным уравнениям кривая определяется однозначно. Не думаю, что это принципиальный вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия (кривизна, кручение)
Сообщение11.04.2012, 13:44 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
Munin в сообщении #558983 писал(а):
Padawan в сообщении #558964 писал(а):
Вы вашу кривую никак не зададите натуральными уравнениями с нулевым кручением.

По-моему, задам. Только не однозначно. Это как определения нарисовать: то ли в натуральном уравнении кривизна должна быть не нулевой, чтобы вообще называть его натуральным уравнением, то ли это возникает как дополнительное требование в теореме, что по натуральным уравнениям кривая определяется однозначно. Не думаю, что это принципиальный вопрос.

Кривая по натуральному уравнению определяется однозначно. Обратно верно только если кривизна кривой отлична от нуля. По-моему кручение вообще определено только в тех точках, где кривизна не нулевая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия (кривизна, кручение)
Сообщение11.04.2012, 13:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Padawan в сообщении #558987 писал(а):
По-моему кручение вообще определено только в тех точках, где кривизна не нулевая.


да

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия (кривизна, кручение)
Сообщение11.04.2012, 18:16 


10/02/11
6786

(Оффтоп)

Munin в сообщении #558926 писал(а):
Это не вы, надеюсь, девушка?

Munin в сообщении #558983 писал(а):
Впрочем, если Oleg Zubelevich девушка, это кое-что объясняет в его поведении...

Вынося за скобки ваши эротические фантазии на мой счет, я отвечу вам словами классика: кому и кобыла невеста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия (кривизна, кручение)
Сообщение11.04.2012, 19:20 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 !  Munin, Oleg Zubelevich, замечания за оффтопик и "обмен любезностями"

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия (кривизна, кручение)
Сообщение11.04.2012, 19:34 


19/08/11
92
Что-то я как-то ничего не понял. Возможно, что это объясняетется тем, что "ничего" включает и саму постановку задачи. Тем не менее...

Если справедливо, что любая кривая с тождественно равным нулю кручением - плоская (а у меня как-то справедливость этого утверждения сомнений не вызывает), то что же обсуждается на этой ветке?

Особую загадочность для меня представляют идеи что-то где-то поломать: определение кручения опирается на касательные (и плоскость и прямую!!!), а я как-то привык к тому, что в точках излома касательная прямая не определена. Или где?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия (кривизна, кручение)
Сообщение11.04.2012, 19:48 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Как я понял, Munin предлагает в качестве решения "кривая, у которой кривизна равна нулю во всех точках, где она (кривизна) определена". Остальные возражают, что нужна "кривая, у которой всюду определена кривизна, которая всюду же равна нулю", а такая штука явно плоская...

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия (кривизна, кручение)
Сообщение11.04.2012, 21:18 


19/08/11
92
Joker_vD в сообщении #559096 писал(а):
Как я понял, Munin предлагает в качестве решения "кривая, у которой кривизна равна нулю во всех точках, где она (кривизна) определена". Остальные возражают, что нужна "кривая, у которой всюду определена кривизна, которая всюду же равна нулю", а такая штука явно плоская...

Вы, видимо. имели в виду не "кривизну", а "кручение".
Если принять эту поправку, то лично мне предмет обсуждения все равно не становится понятным.

Во-первых, требуется привести пример неплоской кривой, у которой кручение равно нулю. В точках, в которых кручение не определено, оно не равно нулю.

Во-вторых, если даже допустить наличие "нехороших" точек (формулировка задачи все же достаточно вольная с математической точки зрения), то все равно остается непонятно, о чем спорить: слепили два фрагмента "нехороших" плоских кривых, лежащих в разных плоскостях, и все дела - о чем спорить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия (кривизна, кручение)
Сообщение11.04.2012, 22:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Joker_vD в сообщении #559096 писал(а):
Как я понял, Munin предлагает в качестве решения "кривая, у которой кривизна равна нулю во всех точках, где она (кривизна) определена". Остальные возражают, что нужна "кривая, у которой всюду определена кривизна, которая всюду же равна нулю", а такая штука явно плоская...

Нет, как раз не всюду, а на отрезке.

И не путайте кривизну и кручение.

Возьмём произвольую (гладкую) кривую. Для неё во всех точках определена кривизна. Там, где она не равна нулю - определено и кручение. В обратную сторону, можно задать ненулевую (и неотрицательную) кривизну и какое-то кручение, и это однозначно нам задаст локальный участок кривой; либо можно задать нулевую кривизну, и это точто так же однозначно задаст кривую, но кручение здесь задавать в принципе нельзя, потому что оно не определено. Впрочем, можно записать уравнение, в каком-то смысле аналогичное натуральному уравнению кручения, если помножить исходное уравнение на знаменатель. Тогда получится, что "функцию кручения" мы задать можем, и притом произвольно - она на результат не будет влиять.

Обсуждается конструкция "кривой плоский участок - прямой участок - кривой плоский участок", которая может быть в целом неплоской. Но как бы мы ни задавали функции и ни записывали уравнения, пусть даже "разрешённым" способом, решить мы их не сможем: на протяжении плоского участка кривая "забудет", в какой плоскости лежала, и когда кривизна снова станет ненулевой, не будет знать, куда поворачиваться.

Так что, нельзя записать как единую задачу последовательные участки разных типов. Или можно записать, но не решить, обломаться с теоремой о существовании и единственности решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия (кривизна, кручение)
Сообщение12.04.2012, 12:04 


29/09/06
4552
В таком обсуждении надо, наверное, выражаться точнее.
Munin в сообщении #559172 писал(а):
Возьмём произвольую (гладкую) кривую. Для неё во всех точках определена кривизна.
Нет: дугу окружности $AB$ в конечной точке продолжим прямой $BC$ по касательному вектору в точке $B$ (или окружностью другой кривизны, противоположной, например). Полученная кривая гладкая, кривизна в точке $B$ не определена.
Padawan в сообщении #558987 писал(а):
Кривая по натуральному уравнению определяется однозначно. Обратно верно только если кривизна кривой отлична от нуля.

Когда говорят "по натуральнОМУ уравнениЮ" (в ед. числе), мне представляется, что обсуждается плоская кривая (и там никаких ограничений на знак кривизны нет). А если обсуждается пространственная кривая, то надо говорить как-то во множественном числе; например, "определена парой натуральных уравнений". Я так редко читал о пространственных кривых, что даже не знаю обычных штампов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия (кривизна, кручение)
Сообщение12.04.2012, 12:42 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
Алексей К. в сообщении #559259 писал(а):
А если обсуждается пространственная кривая, то надо говорить как-то во множественном числе; например, "определена парой натуральных уравнений".

Да, прошу прощения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия (кривизна, кручение)
Сообщение12.04.2012, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Алексей К. в сообщении #559259 писал(а):
Полученная кривая гладкая, кривизна в точке $B$ не определена.

Да, я имел в виду "почти всюду", прошу прощения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия (кривизна, кручение)
Сообщение13.04.2012, 19:18 
Заслуженный участник


11/03/08
531
Петропавловск, Казахстан
В теореме говорится: СВЯЗНАЯ гладкая линия является плоской т. и т. тогда, когда кручение ее в каждой точке рано нулю. Поэтому надо взять несвязную линию. Например, две "скрещивающиеся" синусоиды. Эта линия состоит из двух элементарных линий (гомеоморфных интервалу) 8-) :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия (кривизна, кручение)
Сообщение13.04.2012, 20:26 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
BVR в сообщении #559701 писал(а):
Поэтому надо взять несвязную линию.

Гениально!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group