2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 ход решения суммы последовательности
Сообщение09.04.2012, 15:08 


30/03/12
10
Здравствуйте, помогите разобраться с суммой последовательности:
$\sum\limits_{k=n}^{2n} 2k-1 $
Конечный ответ известен, непонятен алгоритм решения, ничего подобного мы не решали.

 Профиль  
                  
 
 Re: ход решения суммы последовательности
Сообщение09.04.2012, 15:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Двойку можно вынести за скобку, от одной второй легко избавиться. Потом представьте сумму как разность двух сумм от единички. И вспомните формулу.

 Профиль  
                  
 
 Re: ход решения суммы последовательности
Сообщение09.04.2012, 15:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
используйте формулу для суммы арифметической прогрессии

ведь $2n-1$, $2(n+1)-1$, $\ldots$, $2(n+n)-1$ -- арифметическая прогрессия, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: ход решения суммы последовательности
Сообщение09.04.2012, 16:15 


30/03/12
10
Получилось дойти до ответа, используя изменённую формулу арифметической прогрессии:
$S_n=\frac{(a_1+a_n)(n+1)}{2}$
Она во всех случаях справедлива или только в этом?

 Профиль  
                  
 
 Re: ход решения суммы последовательности
Сообщение09.04.2012, 16:19 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
DaschaM в сообщении #558349 писал(а):
Получилось дойти до ответа, используя изменённую формулу арифметической прогрессии:
$S_n=\frac{(a_1+a_n)(n+1)}{2}$
Она во всех случаях справедлива или только в этом?
Она почти ни в каких случаях не справедлива, в том числе, и в этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: ход решения суммы последовательности
Сообщение09.04.2012, 17:17 


30/03/12
10
Хм, ну допустим мы упростили выражение, и как тогда звучит эта формула для последовательности? Подставлять нужно $a_1=n$ и $a_n=2n$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: ход решения суммы последовательности
Сообщение09.04.2012, 17:51 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
Так чему для данной прогрессии равны первый член, последний член и количество членов, выраженные через $n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: ход решения суммы последовательности
Сообщение09.04.2012, 18:09 


30/03/12
10
$n$,$2n$ и $2n-1$

 Профиль  
                  
 
 Re: ход решения суммы последовательности
Сообщение09.04.2012, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
DaschaM в сообщении #558396 писал(а):
$n$,$2n$ и $2n-1$



??????????

-- Пн апр 09, 2012 18:18:33 --

alcoholist в сообщении #558320 писал(а):
$2n-1$, $2(n+1)-1$, $\ldots$, $2(n+n)-1$ -- арифметическая прогрессия, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: ход решения суммы последовательности
Сообщение09.04.2012, 18:31 


30/03/12
10
Если подставлять в $S_n=\frac {(a_1+a_n)n}{2}=\frac{(n+2n)(2n-1)}{2}=3n^2-3/2n$, что не сходится с ответом: $3n^2+2n-1$

 Профиль  
                  
 
 Re: ход решения суммы последовательности
Сообщение09.04.2012, 18:37 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
Да, все непросто.

Вот я смотрю на прогрессию, написанную alcoholist'ом, и вижу первый член, равный $2n - 1$.

Откуда Вы взяли $n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: ход решения суммы последовательности
Сообщение09.04.2012, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
DaschaM в сообщении #558411 писал(а):
Если подставлять в $S_n=\frac {(a_1+a_n)n}{2}=\frac{(n+2n)(2n-1)}{2}=3n^2-3/2n$, что не сходится с ответом: $3n^2+2n-1$


не то "подставляете"

Maslov в сообщении #558392 писал(а):
Так чему для данной прогрессии равны первый член, последний член и количество членов, выраженные через $n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: ход решения суммы последовательности
Сообщение09.04.2012, 19:32 


30/03/12
10
Всё, разобралась, спасибо )
За количество членов всегда в арифметической нужно брать $n+1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: ход решения суммы последовательности
Сообщение09.04.2012, 19:44 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
DaschaM в сообщении #558440 писал(а):
За количество членов всегда в арифметической нужно брать $n+1$?
Нет, за количество членов арифметической прогрессии всегда надо брать количество членов арифметической прогрессии.

Например, в прогрессии 1, 3, 5 за количество членов надо брать 3, а вовсе никакое не n+1.

Судя по всему, Вас смущает, что одна и та же буковка $n$ употребляется в общей формуле суммы арифметической прогрессии и в Вашей конкретной задаче (причем в разных значениях).

В записи формулы для суммы арифметической прогрессии можно использовать любую другу букву, например, $m$:

$S_m = \dfrac {(a_1 + a_m) m} 2$

Тогда для Вашей конкретной задачи получим:
$a_1 = 2n-1$
$a_m = 4n - 1$
$m = n + 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: ход решения суммы последовательности
Сообщение09.04.2012, 20:00 


30/03/12
10
Цитата:
=Тогда для Вашей конкретной задачи получим:
$a_1 = 2n-1$
$a_m = 4n - 1$
$m = n + 1$


Да, с этим всё понятно. Тогда как определить количество членов арифметической прогрессии в этой последовательности?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group