Распределение Коши [Теория вероятностей]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!
Помогите пожалуйста решить следующую задачку так как сам никак не могу решить.

Случайная точка $B$ имеет равномерное распределение на окружности $x^2+(y-a)^2=r^2$ с центром в точке $A=(0,a)$, а случайная точка $C=(\xi,0)$ является пересечением оси абсцисс с прямой, проходящей через $A$ и $B$. Найти ф.р. и плотность с.в. $\xi$.

С уважением, Whitaker.

[_hum_]

Так а в чем трудность? Начинайте с определения для ф.р. и ищите соответствующие вероятности событий.

[Whitaker]

$F_{\xi}(x)=P\{\xi\leq x\}$, $F_{\xi}(x)$-функция распределения с.в. $\xi$
Вероятность каких событий?

[_hum_]

Whitaker в сообщении #558290 писал(а):

Вероятность каких событий?

Что значит каких? Тех, что участвуют в определении вашей ф.р.

[Whitaker]

Т.е. вероятность $\xi$?

[_hum_]

Нет, вероятность события $B_x = , состоящего в том, что "значение с.в. $\xi$, полученное в испытании, окажется меньше заданного фиксированного числа $x$".
$F_\xi(x) = P(\xi \leq x) = P(B_x)$

[Whitaker]

_hum_
извиняюсь я неправильно выразился.
Но вопрос в следующем: Как именно найти $P(B_x)$, где $B_x = ? Если бы я мог это найти, я бы не стал задавать этот вопрос.

[_hum_]

Как обычно - выразите это событие через события, вероятности которых вы считать умеете. А умеете вы считать вероятности событий, связанных с попаданием точки в любой отрезок на окружности.

[Whitaker]

_hum_
Вот событие $B_x$ через какие именно события выражать надо?
Что-то я не понял, что Вы имеете в виду.

[_hum_]

Событие $B_x$ расписываем как событие "точка $C$ расположена на оси абсцисс левее точки $(x, 0)$". В свою очередь положение точки $C$ зависит от положения точки $B$. С учетом этого выразите событие
"точка $C$ расположена на оси абсцисс правее точки $( x,0)$"
через событие, связанное с положением точки $B $ на окружности.

[Whitaker]

_hum_ в сообщении #558316 писал(а):

"точка $C$ расположена на оси абсцисс правее точки $( x,0)$"

может все-таки левее?

[_hum_]

да, я поправил

-- Пн апр 09, 2012 16:31:18 --

И давайте, для простоты пока будем считать, что в качестве $x$ рассматриваются только отрицательные (или только положительные).

[Whitaker]

_hum_
я Вас понял. Сейчас я подумаю и отвечу.
Вот картинка:

[_hum_]

Ну и? Через какое событие, связанное с положением точки $B$ на окружности, выражается событие "положение точки $C$ на оси $Ox$ левее $x$ "?
(Подсказка: положение точки $B$ на окружности однозначно характеризуется углом $\varphi$, образуемым лучом $AB$ и осью ординат $Oy$).

[Whitaker]

_hum_
я подумал и получил следующее:
Для того, чтобы точка $C=(\xi, 0)$ была левее точки $(x, 0)$ на оси абсцисс необходимо следующее:
$\varphi \in [0, \arctg \frac{x}{a}]\cup (\pi/2, \pi+\arctg\frac{x}{a}]\cup (\pi, 2\pi]$