Распределение Коши [Теория вероятностей]

[Whitaker]

Вероятность $\dfrac{1}{\arctg\frac{x}{a}+\frac{\pi}{2}}+\dfrac{1}{\arctg\frac{x}{a}-\frac{\pi}{2}}$
Наверное так?

[_hum_]

нет.
расписывайте рассуждения, как находили.

[Whitaker]

Говорят, что случайная величина $\xi$ имеет равномерное распределение на отрезке $[a, b]$, если ее плотность имеет вид:
$p_{\xi}(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}, & x\in [a,b] \\ 0, & x\notin [a, b] \end{cases}$
Здесь поступаем также:
Нам даны полуинтервалы $(-\frac{\pi}{2}, \arctg\frac{x}{a}]$ и $(-\pi, -\frac{3\pi}{2}+\arctg\frac{x}{a}] $
Здесь наша плотность будет иметь вид:
$2\arctg\frac{x}{a}$, при $x\in(-\frac{\pi}{2}, \arctg\frac{x}{a}]$ или $x\in(-\pi, -\frac{3\pi}{2}+\arctg\frac{x}{a}]$
$0$ в остальных случаях.
Теперь верно?

P.S. Но это ведь все для случая, когда $x$-отрицательное. А положительное $x$ мы не будем рассматривать?.

[_hum_]

Мда..
Может быть, вам стоило бы сначала разобраться, что такое плотность распределения; как, зная плотность распределения, находить вероятность события и проч.
А то спотыкаемся на элементарных вещах.

Давайте тогда сперва решите такую задачу.
Положение некоторого объекта задается случайной величиной, значения которой равномерно распределены на отрезке $[-2, 2]$. Найти вероятность события $A$:
a) $A$ = "положение объекта попадает в $[0,1]$";
b) $A$ = "положение объекта попадает в $[0,1]$ или в $[-1,0]$"
с) $A$ = "положение объекта не попадает в $[0,1]$";

[Whitaker]

_hum_
Вы правы я действительно не совсем хорошо разбираюсь в таких элементарных вещах... как плотность распределения или функция распределения. Сейчас подумаю над Вашей задачкой

[Whitaker]

_hum_
я подумал над Вашей задачкой и вроде его решил.
Решение:
Пусть $\xi$ - наша случайная величина.
С.в. $\xi$ имеет равномерное распределение на отрезке $[-2, 2]$. Тогда:
$p_{\xi}(u)=\begin{cases} \frac{1}{4}, & u\in [-2, 2] \\ 0, & u\notin [-2, 2] \end{cases}$
$F_{\xi}(x)=\int \limits_{-\infty}^{x}p_{\xi}(u)du$ - функция распределения с.в. $\xi$

$F_{\xi}(x)=\begin{cases} 0, & x\in (-\infty, -2] \\ \frac{x+2}{4}, & x\in (-2, 2] \\ 1, & x\in (2, +\infty) \end{cases}$
а) Пусть $A_1=. Тогда: $P\{A_1\}=P\{0\leq \xi \leq 1\}=P\{\xi \leq 1\}-P\{\xi \leq 0\}=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}$
б) Пусть $A_3=. Тогда: $P\{A_3\}=1-P\{\bar{A}_3\}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
в) Пусть $A_2=
$P\{A_2\}=P\{\xi \in[-1, 0]\}+P\{\xi \in[0, 1]\}-P\{\xi=0\}=\frac{1}{2}$
Вот так у меня получилось.
Верно?

[_hum_]

Да, только на будущее, если имеется плотность распределения $f_{\xi} = f_{\xi}(x)$, то можно проще, без последующего использования функции распределения. Фактически, все сводится к тому, что вероятность любого события, связанного с попаданием значения с.в. $\xi $ в произвольный интервал $I$ в этом случае считается по формуле:

$$\mathrm{P}(\xi \in I) = \int_I f_{\xi}(x)dx.$$

Вот ее стоит запомнить и применять в дальнейшем. Например, в вашем варианте

$$\mathrm{P}(A_1) = \mathrm{P}(\xi \in [0,1]) = \int_{[0,1]}\frac{1}{4}\, dx = \frac{1}{4} (1 - 0) = \frac{1}{4}.$$

Обычный порядок таков - находят функцию распределения $F_\xi = F_\xi(x)$ через вероятность события $\xi \in (-\infty, x]$, пользуясь соотношением $F_\xi(x) = \mathrm{P}(\xi \in (-\infty, x])$. Далее, находят плотность $f_\xi = f_\xi(x)$ (если она существует!), пользуясь соотношением $f_\xi(x) = F_\xi'(x)$. И дальше для вычисления интересующих вероятностей событий работают уже только с плотностью.

Ладно, идем дальше. Теперь нужно определиться с тем, что означает фраза "положение точки на окружности распределено равномерно". А означает она, что вероятность попадания точки в любую дугу на а этой окружности равна отношению длины дуги ко всей длине окружности.
В качестве закрепляющего дополнительного задания:
как вы знаете, положение точки на окружности фиксированного радиуса $r$ можно однозначно задать углом $\varphi \in [0,2\pi)$. Значит, если положение точки является равномерно распределенной по окружности случайной величиной, то и угол $\varphi$ будет тоже случайной величиной. С учетом сказанного, попытайтесь найти плотность распределения этой случайной величины $\varphi$ по указанной ранее схеме: найти функцию распределения $F_\varphi = F_\varphi(u)$, а затем, продифференцировав ее, найти плотность $f_\varphi = f_\varphi(u)$.

Справитесь, можете воспользоваться результатом, чтобы найти искомые вероятности попадания точки в заданные углы. Не справитесь - тоже ничего страшного (сделаете тогда как-нибудь позднее), можете, напрямую попытаться вычислить вероятности нужных событий.
В любойм случае, возвращаемся к вычислению вероятности события

Whitaker в сообщении #558406 писал(а):

Тогда вот так:
$\varphi_C\in(-\frac{\pi}{2}, \arctg\frac{x}{a}]\cup(-\pi, -\frac{3\pi}{2}+\arctg\frac{x}{a}]$

[Whitaker]

Прочитав все, что Вы написали пришел к выводу, что искомая вероятность равна следующей величине:

$$\int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\arctg\frac{x}{a}}\dfrac{dt}{2\pi}+\int \limits_{-\pi}^{-\frac{3\pi}{2}+\arctg\frac{x}{a}}\dfrac{dt}{2\pi}$$

P.S. Уважаемый_hum_, мы ведь считали углы немного по другому. А если считать как обычно, то у меня получилась следующая область $\varphi_C\in(0,\frac{\pi}{2}+\arctg\frac{x}{a}]\cup (\pi, \frac{3\pi}{2}+\arctg\frac{x}{a}] $
Верно ведь?
Еще. Ведь эти рассуждения для случая когда $x$-отрицательное ведь? А для положительного не будем делать?

[_hum_]

Да. Вроде, все так.
Только выпишите в явном виде значение вероятности.

Ну все, вот вы нашли значение для вероятности события $B_x = при отрицательных $x$. А теперь найдите при положительных, и далее запишите, наконец, выражение для искомой функции распределения $F_\xi = F_\xi(x)$.

Подсказка: "$\xi \leq x$" представимо в виде объединения событий "$\xi \leq 0\,$", "$0 < \xi \leq x$".

[svv]

Начала дуг должны отстоять друг от друга на $\pi$, а сейчас они отстоят на $\frac{\pi} 2$.

[_hum_]

svv в сообщении #558695 писал(а):

Начала дуг должны отстоять друг от друга на $\pi$, а сейчас они отстоят на $\frac{\pi} 2$.

Да, точно. Whitaker, проверьте еще раз.

[Whitaker]

_hum_ в сообщении #558703 писал(а):

svv в сообщении #558695 писал(а):

Начала дуг должны отстоять друг от друга на $\pi$, а сейчас они отстоят на $\frac{\pi} 2$.

Да, точно. Whitaker, проверьте еще раз.

Это Вы об этом?
$\varphi_C\in(0,\frac{\pi}{2}+\arctg\frac{x}{a}]\cup (\pi, \frac{3\pi}{2}+\arctg\frac{x}{a}] $
_hum_ и svv я не понял что Вы имеете в виду.

-- Вт апр 10, 2012 20:35:14 --

svv
а ведь начала дуг именно отстоят на $\pi$.
Или я Вас неправильно понял?

[_hum_]

Whitaker в сообщении #558798 писал(а):

Это Вы об этом?
$\varphi_C\in(0,\frac{\pi}{2}+\arctg\frac{x}{a}]\cup (\pi, \frac{3\pi}{2}+\arctg\frac{x}{a}] $
_hum_ и svv я не понял что Вы имеете в виду.

-- Вт апр 10, 2012 20:35:14 --

svv
а ведь начала дуг именно отстоят на $\pi$.
Или я Вас неправильно понял?

Это касалось интервалов в прежнем отсчете углов (с отрицательными знаками):

Цитата:

$\varphi_C\in(-\frac{\pi}{2}, \arctg\frac{x}{a}]\cup(-\pi, -\frac{3\pi}{2}+\arctg\frac{x}{a}]$

[Whitaker]

_hum_ я довел задачу до конца и получил такой ответ:
$F_{\xi}(x)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\arctg\frac{x}{a}}{\pi}$, $p_{\xi}(x)=\dfrac{a}{\pi(a^2+x^2)}$
В книге такой же ответ.
_hum_ большое Вам человеческое спасибо за помощь в решении задачи. Кроме того, что решил задачу так еще понял некоторые детали. Еще раз спасибо!