2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Представление Гейзенберга и среднее значение
Сообщение05.04.2012, 21:46 


03/12/10
102
Здравствуйте,
подскажите пожалуйста как искать среднее значение используя операторы в представлении Гейзенберга.
Формулу я, конечно, знаю. Параграф в Ландау прочитал.
Но вот вопрос:
$S^{-1}\cdot f \cdot S$ что с этим делать? свести к представлению Шредингера не вариант.
В представлении Шредингера все понятно, есть оператор и т.д. А в представлении Гейзенберга надо пересчитать оператор и ???
Даже толком не сформулировать ... просто не понимаю как посчитать интеграл ($S=\exp(-iHt/h)$)

-- Чт апр 05, 2012 22:02:51 --

Если кто нибудь знает где можно найти пример нахождения среднего ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление Гейзенберга и среднее значение
Сообщение05.04.2012, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Mitrandir в сообщении #556748 писал(а):
А в представлении Гейзенберга надо пересчитать оператор и ???

Да. Вы должны найти новый оператор.

Mitrandir в сообщении #556748 писал(а):
просто не понимаю как посчитать интеграл ($S=\exp(-iHt/h)$)

Считать его вообще сложно, и сложность эта зависит от того, в каком представлении вы работаете. Если в координатном - вам надо посчитать экспоненту от чего-то ужасного, забейте сразу. Если в каком-то дискретном, то это выражение сводится к системе линейных дифуров. Но к системе вообще большой, иногда бесконечной. Тоже всё плохо. Единственный свет в оконце - это представление энергетическое, в котором сам $H$ диагонален. (Можно ещё брать представления, в которых $H$ почти диагонален, делится на небольшие жордановы клетки.) Вот в энергетическом представлении всё просто: $S$ тоже будет диагональным оператором, элементы которого - экспоненты от соответствующих диагональных элементов $H.$

Пишут такие интегралы не для того, чтобы считать их в лоб, а для того, чтобы понимать, о чём идёт речь, и делать какие-то высокие выкладки. Чтобы свести это к рассчёто-доступному уровню, надо проделать ещё несколько шагов (здесь - выбор удобного представления).

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление Гейзенберга и среднее значение
Сообщение05.04.2012, 22:56 


03/12/10
102
Но, что это за новый оператор. Просто подставить $S,f$ и получится нечто .. мне для начала бы найти среднее значение $x$ при заданной волновой функции. (я не понимаю что значит $Ht$ в показателе экспоненты, как построить новый оператор)

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление Гейзенберга и среднее значение
Сообщение05.04.2012, 23:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Mitrandir в сообщении #556784 писал(а):
Но, что это за новый оператор.

О, тут нужно разобраться, что это такое вообще - экспонента от оператора. Потом - что такое экспонента от антиэрмитова оператора. Предлагаю начать с того, что такое экспонента от матрицы, как она себя ведёт.

Выпишите на листочке, чему будет равно
$$E(t)=\exp(t\left[\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\end{array}\right]).$$
И объясните для себя "на пальцах", как этот результат связан с видом исходной матрицы, которая под экспонентой.

Подсказка: при малых $t$ будет $\exp(A)\approx 1+A.$

Mitrandir в сообщении #556784 писал(а):
мне для начала бы найти среднее значение $x$ при заданной волновой функции.

Для такой задачи вам гейзенберговское представление не нужно, пропустите этот параграф, вернётесь к нему позже, когда работать с волновыми функциями и разными представлениями более бегло будете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление Гейзенберга и среднее значение
Сообщение06.04.2012, 22:14 
Аватара пользователя


02/09/11
1247
Энск
Похоже "матричная" мнимая единица?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление Гейзенберга и среднее значение
Сообщение06.04.2012, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да, очень похоже на мнимую единицу. Но всё-таки матрицы побогаче возможностями будут. Рассмотрите, например, действительные матрицы $3\times 3.$ Там возможны такие вращения уже в трёх различных направлениях (и вообще, для действительной матрицы $n\times n$ - в $n(n-1)/2$ направлениях).

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление Гейзенберга и среднее значение
Сообщение07.04.2012, 14:42 
Аватара пользователя


02/09/11
1247
Энск
Munin в сообщении #557231 писал(а):
Да, очень похоже на мнимую единицу. Но всё-таки матрицы побогаче возможностями будут. Рассмотрите, например, действительные матрицы $3\times 3.$ Там возможны такие вращения уже в трёх различных направлениях (и вообще, для действительной матрицы $n\times n$ - в $n(n-1)/2$ направлениях).


Не совсем понял, тройные матрицы какого вида? И о каких вращениях речь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление Гейзенберга и среднее значение
Сообщение07.04.2012, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Хорошо, открываем карты. Матрицы $3\times 3$ в показателе экспоненты - действительные антисимметричные,
$$\left(\begin{array}{ccc}0&a&b\\-a&0&c\\-b&-c&0\end{array}\right).$$ Сами экспоненты, получающиеся в результате вычислений - ортогональные матрицы вращений в трёхмерном пространстве. На произвольный угол вокруг произвольной оси.

Проделаете вычисления? Оно того стоит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление Гейзенберга и среднее значение
Сообщение08.04.2012, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #556772 писал(а):
(Можно ещё брать представления, в которых $H$ почти диагонален, делится на небольшие жордановы клетки.) Вот в энергетическом представлении всё просто: $S$ тоже будет диагональным оператором, элементы которого - экспоненты от соответствующих диагональных элементов $H.$

Пишут такие интегралы не для того, чтобы считать их в лоб, а для того, чтобы понимать, о чём идёт речь, и делать какие-то высокие выкладки.


Небольшое терминологическое замечание: у нормальных операторов (каковым является $iH$) жордановых клеток не бывает, бывает просто блочно-диагональная структура, блоки которой тоже являются нормальными. Жорданова клетка не является нормальным оператором.

А насчет вычислений --- это преобразование Фурье от спектральной меры. Иногда считается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление Гейзенберга и среднее значение
Сообщение08.04.2012, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Спасибо. Пример случая "иногда считается" не покажете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление Гейзенберга и среднее значение
Сообщение09.04.2012, 00:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Вряд ли я скажу в этом месте что-то, неизвестное Вам. Поскольку случай, когда нам удалось явно диагонализовать $H$ (котором Вы написали), по сути, эти ситуации и исчерпывает :)

Ну вот, например, $H=-\Delta$. В представлении Фурье он выглядит как умножение на $p^2$. Т. е. функция от него будет умножением на $f(p^2)$, для экспоненты получаем $e^{-i p^2 t}$. Можно перейти обратно в координатное представление, получить пропагатор для свободной частицы. Видимо, это можно считать явным вычислением экспоненты от оператора.

Еще пример --- экспонента от $i\frac{d}{dx}$ будет оператором сдвига.

Или вопрос был не про экспоненту, а про какой-то интеграл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление Гейзенберга и среднее значение
Сообщение09.04.2012, 10:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #558168 писал(а):
Поскольку случай, когда нам удалось явно диагонализовать $H$ (котором Вы написали), по сути, эти ситуации и исчерпывает :)

Ясно, а то я подумал, что есть ещё что-то кроме этого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление Гейзенберга и среднее значение
Сообщение21.04.2012, 22:03 


12/05/10
31
Mitrandir в сообщении #556748 писал(а):
искать среднее значение используя операторы в представлении Гейзенберга.
В матричном представлении? Это собственные числа матрицы

Mitrandir в сообщении #556748 писал(а):
$S^{-1}\cdot f \cdot S$ что с этим делать? Если кто нибудь знает где можно найти пример нахождения среднего ?

Так как H эрмитов оператор, то S - это оператор унитарного преобразования. Он не меняет собственных чисел. Меняется только математическое представление (поворачивается система координат) . Никакая физическая величина не изменится, поэтому как считать - все равно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление Гейзенберга и среднее значение
Сообщение21.04.2012, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
VTur в сообщении #562506 писал(а):
Никакая физическая величина не изменится

Координата, например, изменяется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление Гейзенберга и среднее значение
Сообщение27.04.2012, 19:05 
Аватара пользователя


06/08/09
165
А зачем представление Гейзенберга нужно, если когда оно помогает оно не нужно, кроме как для исключения бесконечного фазового множителя из оператора эволюции? Использование представления Гейзенберга у меня вызывает ощущение самообмана.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group