Представление Гейзенберга и среднее значение

[Mitrandir]

Здравствуйте,
подскажите пожалуйста как искать среднее значение используя операторы в представлении Гейзенберга.
Формулу я, конечно, знаю. Параграф в Ландау прочитал.
Но вот вопрос:
$S^{-1}\cdot f \cdot S$ что с этим делать? свести к представлению Шредингера не вариант.
В представлении Шредингера все понятно, есть оператор и т.д. А в представлении Гейзенберга надо пересчитать оператор и ???
Даже толком не сформулировать ... просто не понимаю как посчитать интеграл ($S=\exp(-iHt/h)$)

-- Чт апр 05, 2012 22:02:51 --

Если кто нибудь знает где можно найти пример нахождения среднего ?

[Munin]

Mitrandir в сообщении #556748 писал(а):

А в представлении Гейзенберга надо пересчитать оператор и ???

Да. Вы должны найти новый оператор.

Mitrandir в сообщении #556748 писал(а):

просто не понимаю как посчитать интеграл ($S=\exp(-iHt/h)$)

Считать его вообще сложно, и сложность эта зависит от того, в каком представлении вы работаете. Если в координатном - вам надо посчитать экспоненту от чего-то ужасного, забейте сразу. Если в каком-то дискретном, то это выражение сводится к системе линейных дифуров. Но к системе вообще большой, иногда бесконечной. Тоже всё плохо. Единственный свет в оконце - это представление энергетическое, в котором сам $H$ диагонален. (Можно ещё брать представления, в которых $H$ почти диагонален, делится на небольшие жордановы клетки.) Вот в энергетическом представлении всё просто: $S$ тоже будет диагональным оператором, элементы которого - экспоненты от соответствующих диагональных элементов $H.$

Пишут такие интегралы не для того, чтобы считать их в лоб, а для того, чтобы понимать, о чём идёт речь, и делать какие-то высокие выкладки. Чтобы свести это к рассчёто-доступному уровню, надо проделать ещё несколько шагов (здесь - выбор удобного представления).

[Mitrandir]

Но, что это за новый оператор. Просто подставить $S,f$ и получится нечто .. мне для начала бы найти среднее значение $x$ при заданной волновой функции. (я не понимаю что значит $Ht$ в показателе экспоненты, как построить новый оператор)

[Munin]

Mitrandir в сообщении #556784 писал(а):

Но, что это за новый оператор.

О, тут нужно разобраться, что это такое вообще - экспонента от оператора. Потом - что такое экспонента от антиэрмитова оператора. Предлагаю начать с того, что такое экспонента от матрицы, как она себя ведёт.

Выпишите на листочке, чему будет равно

$$E(t)=\exp(t\left[\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\end{array}\right]).$$

И объясните для себя "на пальцах", как этот результат связан с видом исходной матрицы, которая под экспонентой.

Подсказка: при малых $t$ будет $\exp(A)\approx 1+A.$

Mitrandir в сообщении #556784 писал(а):

мне для начала бы найти среднее значение $x$ при заданной волновой функции.

Для такой задачи вам гейзенберговское представление не нужно, пропустите этот параграф, вернётесь к нему позже, когда работать с волновыми функциями и разными представлениями более бегло будете.

[zask]

Похоже "матричная" мнимая единица?

[Munin]

Да, очень похоже на мнимую единицу. Но всё-таки матрицы побогаче возможностями будут. Рассмотрите, например, действительные матрицы $3\times 3.$ Там возможны такие вращения уже в трёх различных направлениях (и вообще, для действительной матрицы $n\times n$ - в $n(n-1)/2$ направлениях).

[zask]

Munin в сообщении #557231 писал(а):

Да, очень похоже на мнимую единицу. Но всё-таки матрицы побогаче возможностями будут. Рассмотрите, например, действительные матрицы $3\times 3.$ Там возможны такие вращения уже в трёх различных направлениях (и вообще, для действительной матрицы $n\times n$ - в $n(n-1)/2$ направлениях).

Не совсем понял, тройные матрицы какого вида? И о каких вращениях речь?

[Munin]

Хорошо, открываем карты. Матрицы $3\times 3$ в показателе экспоненты - действительные антисимметричные,

$$\left(\begin{array}{ccc}0&a&b\\-a&0&c\\-b&-c&0\end{array}\right).$$

Сами экспоненты, получающиеся в результате вычислений - ортогональные матрицы вращений в трёхмерном пространстве. На произвольный угол вокруг произвольной оси.

Проделаете вычисления? Оно того стоит.

[g______d]

Munin в сообщении #556772 писал(а):

(Можно ещё брать представления, в которых $H$ почти диагонален, делится на небольшие жордановы клетки.) Вот в энергетическом представлении всё просто: $S$ тоже будет диагональным оператором, элементы которого - экспоненты от соответствующих диагональных элементов $H.$

Пишут такие интегралы не для того, чтобы считать их в лоб, а для того, чтобы понимать, о чём идёт речь, и делать какие-то высокие выкладки.

Небольшое терминологическое замечание: у нормальных операторов (каковым является $iH$) жордановых клеток не бывает, бывает просто блочно-диагональная структура, блоки которой тоже являются нормальными. Жорданова клетка не является нормальным оператором.

А насчет вычислений --- это преобразование Фурье от спектральной меры. Иногда считается.

[Munin]

Спасибо. Пример случая "иногда считается" не покажете?

[g______d]

Вряд ли я скажу в этом месте что-то, неизвестное Вам. Поскольку случай, когда нам удалось явно диагонализовать $H$ (котором Вы написали), по сути, эти ситуации и исчерпывает :)

Ну вот, например, $H=-\Delta$. В представлении Фурье он выглядит как умножение на $p^2$. Т. е. функция от него будет умножением на $f(p^2)$, для экспоненты получаем $e^{-i p^2 t}$. Можно перейти обратно в координатное представление, получить пропагатор для свободной частицы. Видимо, это можно считать явным вычислением экспоненты от оператора.

Еще пример --- экспонента от $i\frac{d}{dx}$ будет оператором сдвига.

Или вопрос был не про экспоненту, а про какой-то интеграл?

[Munin]

g______d в сообщении #558168 писал(а):

Поскольку случай, когда нам удалось явно диагонализовать $H$ (котором Вы написали), по сути, эти ситуации и исчерпывает :)

Ясно, а то я подумал, что есть ещё что-то кроме этого.

[VTur]

Mitrandir в сообщении #556748 писал(а):

искать среднее значение используя операторы в представлении Гейзенберга.
В матричном представлении? Это собственные числа матрицы

Mitrandir в сообщении #556748 писал(а):

$S^{-1}\cdot f \cdot S$ что с этим делать? Если кто нибудь знает где можно найти пример нахождения среднего ?

Так как H эрмитов оператор, то S - это оператор унитарного преобразования. Он не меняет собственных чисел. Меняется только математическое представление (поворачивается система координат) . Никакая физическая величина не изменится, поэтому как считать - все равно.

[Munin]

VTur в сообщении #562506 писал(а):

Никакая физическая величина не изменится

Координата, например, изменяется.

[alien308]

А зачем представление Гейзенберга нужно, если когда оно помогает оно не нужно, кроме как для исключения бесконечного фазового множителя из оператора эволюции? Использование представления Гейзенберга у меня вызывает ощущение самообмана.