Пожалуйста помогите разобраться: частные производные

[vitlate]

1.Найти первые частные производные от сложной функции по независимым переменным:
U=ln(3-x^2)+xy^2, y=sinx

$$\frac{dU}{dx}=\frac{dU}{dx}+\frac{dU}{dy} * \frac{dy}{dx}$$

Это правильно?

Добавлено спустя 8 минут 48 секунд:

2. С помощью полного дифференциала функции двух переменых вычислить приблеженно:

$$ e^{0,25*0.07}$$

$$ f(x0,y0)=e^{x*y}+ye^{xy}dx+xe^{xy}dy=e^{1*0}+0*e^{1*0}*(-0,75)+1e^{1*0}*0,07=1,007$$

Проверьте правильно записано?
3.Проверить принадлежит ли т.

$$M0(x0;x0;z0)$$

поверхности

$$ r$$

. В случае положительного ответа составить уравнение касательной плоскости и нормали к этой поверхности в т

$$M0$$

$$ \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=xyz +2$$

$$M0(1;1;1)$$

[Brukvalub]

Правильнее писать вот так: $\frac{{dU}}{{dx}} = \frac{{\partial U}}{{\partial x}} + \frac{{\partial U}}{{\partial y}}\frac{{dy}}{{dx}}$ . А условие второй задачи написано непонятно.

[vitlate]

Brukvalub писал(а):

Правильнее писать вот так: $\frac{{dU}}{{dx}} = \frac{{\partial U}}{{\partial x}} + \frac{{\partial U}}{{\partial y}}\frac{{dy}}{{dx}}$ . А условие второй задачи написано непонятно.

а как записать 1-е задание в полном виде?

Добавлено спустя 1 час 3 минуты 16 секунд:

Помогите пожалуйста с 3 заданием, и скажите пожалуйста, правильно ли решено 2-ое???

[Someone]

vitlate писал(а):

Помогите пожалуйста с 3 заданием,

http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=3986

vitlate писал(а):

и скажите пожалуйста, правильно ли решено 2-ое???

Правильно. Другой вопрос - какая погрешность получилась.

[vitlate]

А как вычислить погрешность?

[Someone]

А от Вас это разве требуется? Если можно вычислять на калькуляторе, то вычислите $e^{0.25\cdot 0.07}$ и сравните с тем, что получилось. Если требуется теоретическая оценка, можно использовать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

$$f(\vec r)=f(\vec r_0)+\frac{df(\vec r_0)}{1!}+\frac{d^2f(\vec r_0)}{2!}+\dots+\frac{d^nf(\vec r_0)}{n!}+\frac{d^{n+1}f(\vec r_0+\theta\Delta\vec r)}{(n+1)!}\text{,}$$

где $\Delta\vec r=\vec r-\vec r_0$ и $0<\theta<1$.
В Вашем случае $n=1$, $\vec r_0=\{x_0,y_0\}=\{1,0\}$, $\vec r=\{x,y\}=\{0.25,0.07\}$, а оценкой погрешности будет $\sup\limits_{0<\theta<1}\frac{|d^{n+1}f(\vec r_0+\theta\Delta\vec r)|}{(n+1)!}$ (или любое большее число).

[vitlate]

Исследовать на экстремум функуию z=1/2 x^2+xy-1/2 y^2+x-y$$
Решение: $\frac{{dz}}{{dx}} = x+y+1=0$$ $x=0$$
$\frac{{dz}}{{dy}}=x-y-1=0 $$ $y=-1 $M(0;-1)$$
А как решать дальше?

[Someone]

А Вы сами-то как эту задачу пытаетесь решить?

[vitlate]

Someone писал(а):

А Вы сами-то как эту задачу пытаетесь решить?

Не все, я с той задачей разобрался ,спасибо большое!!!

Добавлено спустя 42 минуты 44 секунды:

vitlate писал(а):

Исследовать на экстремум функуию z=1/2 x^2+xy-1/2 y^2+x-y$$
Решение: $\frac{{dz}}{{dx}} = x+y+1=0 x=0 [math]$\frac{{dz}}{{dy}} = x-y-1=0 y=-1 M(0;1)$$
А как решать дальше?

Не знаю как продолжить...

[Someone]

Вы бы хоть формулы привели в порядок, непонятно же ничего. Если Вам нужно написать систему уравнений, можно использовать окружение \begin{cases}первое уравнение\\ второе уравнение\end{cases}. Также правильно расставляйте знаки доллара и теги /math, не заключайте в них ничего лишнего.

После того, как нашли стационарные точки, их нужно исследовать с помощью достаточного условия экстремума. В учебнике формулировка должна быть. Нужно вычислить

$$D=\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y}\right)^2\text{.}$$

При $D>0$ и $\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}>0$ функция имеет минимум, при $D>0$ и $\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}<0$ - максимум, при $D<0$ экстремума нет.

[vitlate]

Так $$\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}=1$ и
$$\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}=1
так получается, что $$D=0
Правильно?

[Someone]

vitlate писал(а):

$$\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}=1

Неправильно.

[vitlate]

а как тогда будет???

[Someone]

vitlate писал(а):

а как тогда будет???

У Вас $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=x-y-1$ И как от этй функции найти производную по $y$?

P.S. Вы неправильно расставляете знаки доллара. Должен быть один знак в начале и один - в конце. Или два в начале и два в конце, если формула выносится в отдельную строку (на форуме это не обязательно, просто формула будет крупнее и не будет подвергаться автоматическим переносам).

[vitlate]

будет -1
так???