Критерий равномерной непрерывности

[Mysterious Light]

Добрый день! Помогите с одним несложным вопросом, пожалуйста.
Пусть задана функция $f\in C(a,b)$, ограниченная и дифференцируемая в каждой точке, однако производная может и не быть непрерывной. Известно, что производная ограничена. Будет ли исходная функция равномерно непрерывной, т.е. $\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x_1,x_2\in(a,b):\;\rho(x_1,x_2)<\delta\;\Rightarrow\;\rho(f(x_1),f(x_2))<\epsilon$?
Если б производная была непрерывной (или разрывной в конечном числе точек) на интервале, то можно было б сделать оценку по формуле Ньютона-Лейбница. Но в общем случае непонятно, как поступить, ведь $f'$ может быть не то что разрывной, она ведь и суммируемой может не быть! По крайней мере я не помню теорем, что накладывали б ограничения на производную. Хотя всюду разрывную производную я тоже не могу представить.

[ewert]

Mysterious Light в сообщении #557879 писал(а):

ведь $f'$ может быть не то что разрывной, она ведь и суммируемой может не быть!

Пусть себе будет кем хочет. Главное, что задолго до этого есть теорема Лагранжа, из которой следует даже не то что равномерная непрерывность, но попросту липшицевость.

[Mysterious Light]

И действительно.
Контрольный вопрос: дано семейство функций $\{\phi_\alpha\;|\;\phi_\alpha(x)=f(x,\alpha),x\in(0,1),\alpha\geq 0\}$ "сечений" функции $f$ по второму аргумету как параметру функций $\phi_\alpha$, семейство образующих. Определить компактность исходя из теоремы Арцела. Одной непрерывности и ограниченности $f$ мало, контрпример $\sin(x\alpha)$. Тогда требуем помимо этого существования частной производной по x $f_x$ и её ограниченность. Верно ли, что уже этого достаточно для равностепенной непрерывности семейства? Или требование непрерывности $f_x$ всё же существенно?

[ewert]

Mysterious Light в сообщении #557909 писал(а):

Верно ли, что уже этого достаточно для равностепенной непрерывности семейства?

Конечно, достаточно; но, разумеется, лишь в том случае, если та ограниченность равномерна по параметру.

[Oleg Zubelevich]

Mysterious Light в сообщении #557909 писал(а):

Контрольный вопрос: дано семейство функций $\{\phi_\alpha\;|\;\phi_\alpha(x)=f(x,\alpha),x\in(0,1),\alpha\geq 0\}$ "сечений" функции $f$ по второму аргумету как параметру функций $\phi_\alpha$, семейство образующих. Определить компактность исходя из теоремы Арцела

для компактности нужна топология. Стандартная топология в $C(0,1)$ это топология компактной сходимости, она задается полунормами $\|u\|_n=\max_{x\in (1/n,1-1/n)}|u(x)|,\quad n=3,4,\ldots$. Теорема Арцела звучит так.

Пусть семейство функций $A\subseteq C(0,1)$ таково, что
1) при каждом $x\in (0,1) $ имеем $\sup_{f\in A}|f(x)|<\infty$
2) для любого $n$ и любого $\varepsilon>0$ найдется $\delta>0$ такое, что $\sup_{f\in A}\|f(x')-f(x'')\|_n<\varepsilon$ для всех $x',x''\in(0,1)$ таких, что$ |x'-x''|<\delta$.
Тогда множество $A$ относительно компактно в $C(0,1).$

[Mysterious Light]

ewert: спасибо за помощь

Oleg Zubelevich: я ошибся в постановке вопроса, там подразумевался замкнутый отрезок $C[a,b]$ и топология равномерной сходимости. Всё по книге Колмогорова и Фомина (кроме, быть может, употребления слов "компакт" и "предкомпакт"). Впрочем, сейчас я думаю над тем, что Вы написали.