Трехмерное финслерово пространство с метрикой:
Вряд ли вообще хоть чем ни будь замечательное. Я еще мог бы понять, если б Вы предлагали поизучать метрику вида:
Эта метрика связана с коммутативно-ассоциативными трехкомпонентными гиперкомплексными числами, алгебра которых является прямой суммой одной комплексной и одной действительной алгебр. Тут двухпараметрическая группа вращений, 5-параметрическая группа изометрических преобразований и
бесконечномерная группа конформных преобразований. Делители нуля тут лежат в одной плоскости
и на одной прямой пересекающей эту плоскость в точке (0,0,0). Есть в этом пространстве возможность ввести непротиворечивым образом понятие угла (естеcтвенно, не полностью совпадающее с понятием угла в римановых или псевдоримановых пространствах, но являющееся их естественным обобщением), но самое главное, можно определеить понятие трингла, что в принципе позволяет изучать и нелинейные преобразования, имеющие этот трингл в качестве инварианта. Но Вы ведь не это пространство нам предлагали, а совсем иное, причем не показав ни одного из его, якобы, выдающихся геометрических или алгебраических свойств..
Можно еще такую интересную метрику рассмотреть:
,
но это уже не трех-, а четырехмерное пространство. Оно, кстати, очень интересно, так как связанная с ним коммутативно-ассоциативная алгебра включает в качестве подалгебр комплексную и двойную алгебры. В каком-то смысле эту алгебру можно рассматривать как аналог расширения действительных чисел до комплексных, но в данном случае вместо действительных чисел тут расширяется множество двойных чисел. Группа вращений тут абелева трехпараметрическая. Конформные преобразования образуют бесконечную группу. Есть тринглы и более сложные полиуглы. Вот таким пространством мы с удовольствием занимаемся и вполне понятны мотивы, почему..
Но самая интересная метрика из четырехмерных (естественно, если не трогать метрику Бервальда-Моора) имеет вид:
.
Надеюсь, теперь Вы сами можете понять, почему...
Заранее только предупрежу, что группа вращений у соответствующего пространства беднее, чем группа Лоренца, так как абелева и всего трехпараметрическая, зато конформные и более сложные метрически выделенные преобразования неизмеримо превосходят конформную группу пространства Минковского. И обычная группа Лоренца является подгруппой этой бесконечной конформной группы. Именно тут и в аналогичных метриках "рыть" нужно.. Но начинать все равно нужно с
, в противном случае казусы будут только множиться, а продвижение вперед совсем не гарантированно..