2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 18  След.
 
 Re: Конференция по финслеровой геометрии
Сообщение04.04.2012, 20:36 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
Time в сообщении #552229 писал(а):
Что касается лекций Сипарова и других на одной из прошедших школ, то их можно почитать на странице:
http://www.hyper-complex.ru/files/pages ... es_rus.pdf
(объем 32 МБ)
Кроме того недавно вышла его книга:
http://books.google.lt/books/about/Intr ... edir_esc=y
По поводу проблематичности добраться до базы на "Лесном озере", то в чем конкретно проблема? Если только в затратах на дорогу, это в принципе решаемый вопрос.. Хуже, если дифицит времени или желания..

Спасибо за ссылки. Мне казалось у Вас надо платить за проживание, а оно подорожало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конференция по финслеровой геометрии
Сообщение04.04.2012, 21:48 


31/08/09
940
schekn в сообщении #556276 писал(а):
Спасибо за ссылки. Мне казалось у Вас надо платить за проживание, а оно подорожало.


В объявлении же вроде достаточно ясно написано:
" Проживание участников планируется обеспечить в гостиничном комплексе "Сосновый бор" (г.Фрязино, ~100 $/сутки), а так же в гостевых домиках Муниципального образовательного учреждения г.Королев "Лесное озеро" (пос.Литвиново, бесплатно для участников). "

То есть, кто не против пожить во время конференции в нашем здании на "Лесном озере" (это несколько более спартанские условия, чем в гостиннице, а представление о здании можно получить здесь: http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... school.pdf) - то бесплатно. Обычно и с компенсацией затрат на дорогу старались всем желающим помогать..

 Профиль  
                  
 
 Re: Конференция по финслеровой геометрии
Сообщение07.04.2012, 09:27 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Time в сообщении #555881 писал(а):
Наврали. Причем безбожно.

Хорошо, тогда давайте разбираться.

Сначала разберем случай $\mathbb{H}_{3}$. Здесь мы имеем группу таких диагональных матриц

$\left(
\begin{array}{ccc}
e^{a} & 0 & 0 \\
0 & e^{b} & 0 \\
0 & 0 & e^{c}	
\end{array}
\right),$

что $a+b+c=0$. Она порождается своими подгруппами:

$\left(
\begin{array}{ccc}
e^{\alpha} & 0 & 0 \\
0 & e^{-\alpha} & 0 \\
0 & 0 & 1	
\end{array}
\right),$

$\left(
\begin{array}{ccc}
e^{\beta} & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & e^{-\beta}	
\end{array}
\right),$

$\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & e^{\gamma} & 0 \\
0 & 0 & e^{-\gamma}	
\end{array}
\right).$

Для того, чтобы получить всю группу достаточно и двух подгрупп, но размерность этой 2-параметрической группы определяется не этим, а тем, что ее алгебра Ли имеет размерность 2. Действительно, запишем базисные элементы алгебры, которые вычисляются взятием производных матричных элементов вышеперечисленных матричных подгрупп в точках $\alpha=\beta=\gamma=0$:

$\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0	
\end{array}
\right),$

$\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1	
\end{array}
\right),$

$\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1	
\end{array}
\right).$

Откуда хорошо видно, что поскольку только две из трех матриц линейно независимы, то алгебра с этими образующими двумерна, а следовательно ей соответствует двухпараметрическая группа Ли.

Теперь запишем маломерные подгруппы и соответствующие им алгебры Ли в моем случае. Итак, там мы имеем группы Ли:

$\left(
\begin{array}{ccc}
\cos\alpha & \sin\alpha & 0 \\
-\sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\
0 & 0 & 1	
\end{array}
\right),$

$\left(
\begin{array}{ccc}
e^{\beta} & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & e^{-\beta}	
\end{array}
\right),$

$\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & e^{\gamma} & 0 \\
0 & 0 & e^{-\gamma}	
\end{array}
\right),$

и соответствующие им алгебры Ли:

$\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0	
\end{array}\right),$

$\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1	
\end{array}
\right),$

$\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1	
\end{array}
\right).$

Откуда хорошо видно, что все три последние матрицы линейно независимы, а следовательно, образуемая ими алгебра и группа Ли трехмерна. При этом легко заметить, что группа Ли линейных преобразований пространства $\mathbb{H}_{3}$ входит в эту группу в качестве подгруппы.

Time, мне бы хотелось настоятельно рекомендовать Вам (Вашей группе) обратить внимание на эти новые, или может быть старые, но хорошо забытые, финслеровы пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конференция по финслеровой геометрии
Сообщение09.04.2012, 06:57 


31/08/09
940
bayak в сообщении #557329 писал(а):
Time, мне бы хотелось настоятельно рекомендовать Вам (Вашей группе) обратить внимание на эти новые, или может быть старые, но хорошо забытые, финслеровы пространства.


Предлагаемое Вами второе пространство (первое - обычный трехмерный псевдоевклид и давно изучено вдоль и поперек), не имеет той группы изометрических преобразований, что Вы ему приписываете. Что бы убедиться в этом, достаточно взять произвольный вектор $A(X,Y,Z)$, преобразовать его компоненты, в частности, $X$ и $Z$ (получить их численно при заданных начальных величинах и параметра преобразования), в соответствии с теми законами, что Вы предполагаете в качестве изометрических преобразований и подставить в формулу для четвертой степени интервала. Если преобразование из множества изометрических, то четвертая степень длины вектора $A$ до преобразования и после не изменится. Вы же пользуетесь некими формулами, даже не понимая их смысла. В таком случае лучше проверять свои утверждения в лоб. Если б Вы это сделали перед тем, как писать предыдущий пост, было бы на много лучше..

 Профиль  
                  
 
 Re: Конференция по финслеровой геометрии
Сообщение09.04.2012, 10:40 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Time в сообщении #558191 писал(а):
В таком случае лучше проверять свои утверждения в лоб. Если б Вы это сделали перед тем, как писать предыдущий пост, было бы на много лучше..

Да уж, поторопился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конференция по финслеровой геометрии
Сообщение09.04.2012, 11:36 


31/08/09
940
Трехмерное финслерово пространство с метрикой:
$R^4=(X^2+Y^2)Z^2$
Вряд ли вообще хоть чем ни будь замечательное. Я еще мог бы понять, если б Вы предлагали поизучать метрику вида:
$R^3=(X^2+Y^2)Z$
Эта метрика связана с коммутативно-ассоциативными трехкомпонентными гиперкомплексными числами, алгебра которых является прямой суммой одной комплексной и одной действительной алгебр. Тут двухпараметрическая группа вращений, 5-параметрическая группа изометрических преобразований и бесконечномерная группа конформных преобразований. Делители нуля тут лежат в одной плоскости $Z=0$ и на одной прямой пересекающей эту плоскость в точке (0,0,0). Есть в этом пространстве возможность ввести непротиворечивым образом понятие угла (естеcтвенно, не полностью совпадающее с понятием угла в римановых или псевдоримановых пространствах, но являющееся их естественным обобщением), но самое главное, можно определеить понятие трингла, что в принципе позволяет изучать и нелинейные преобразования, имеющие этот трингл в качестве инварианта. Но Вы ведь не это пространство нам предлагали, а совсем иное, причем не показав ни одного из его, якобы, выдающихся геометрических или алгебраических свойств..
Можно еще такую интересную метрику рассмотреть:
$R^4=(X^2+Y^2)ZT$,
но это уже не трех-, а четырехмерное пространство. Оно, кстати, очень интересно, так как связанная с ним коммутативно-ассоциативная алгебра включает в качестве подалгебр комплексную и двойную алгебры. В каком-то смысле эту алгебру можно рассматривать как аналог расширения действительных чисел до комплексных, но в данном случае вместо действительных чисел тут расширяется множество двойных чисел. Группа вращений тут абелева трехпараметрическая. Конформные преобразования образуют бесконечную группу. Есть тринглы и более сложные полиуглы. Вот таким пространством мы с удовольствием занимаемся и вполне понятны мотивы, почему..
Но самая интересная метрика из четырехмерных (естественно, если не трогать метрику Бервальда-Моора) имеет вид:
$R^4=(X^2+Y^2)(Z^2+T^2)$.
Надеюсь, теперь Вы сами можете понять, почему...
Заранее только предупрежу, что группа вращений у соответствующего пространства беднее, чем группа Лоренца, так как абелева и всего трехпараметрическая, зато конформные и более сложные метрически выделенные преобразования неизмеримо превосходят конформную группу пространства Минковского. И обычная группа Лоренца является подгруппой этой бесконечной конформной группы. Именно тут и в аналогичных метриках "рыть" нужно.. Но начинать все равно нужно с $H_3$, в противном случае казусы будут только множиться, а продвижение вперед совсем не гарантированно..

 Профиль  
                  
 
 Re: Конференция по финслеровой геометрии
Сообщение09.04.2012, 18:43 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Time в сообщении #558242 писал(а):
Трехмерное финслерово пространство с метрикой:
$R^4=(X^2+Y^2)Z^2$
Вряд ли вообще хоть чем ни будь замечательное.

Но позвольте мне всё же исправить ошибку в вычислениях.

Итак, маломерных групп тут две:

$\left(
\begin{array}{ccc}
\cos\alpha & \sin\alpha & 0 \\
-\sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\
0 & 0 & 1	
\end{array}
\right),$

$\left(
\begin{array}{ccc}
e^{\beta} & 0 & 0 \\
0 & e^{\beta} & 0 \\
0 & 0 & e^{-\beta}	
\end{array}
\right),$

и им соответствуют два линейно независимых элемента алгебры Ли:

$\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0	
\end{array}\right),$

$\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1	
\end{array}
\right).$

Поэтому в результате, как Вы и говорили, мы имеем двухпараметрическую группу изометрических симметрий этого ничем непримечательного пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конференция по финслеровой геометрии
Сообщение09.04.2012, 22:14 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Time в сообщении #558242 писал(а):
Я еще мог бы понять, если б Вы предлагали поизучать метрику вида:
$R^3=(X^2+Y^2)Z$
Эта метрика связана с коммутативно-ассоциативными трехкомпонентными гиперкомплексными числами, алгебра которых является прямой суммой одной комплексной и одной действительной алгебр. Тут двухпараметрическая группа вращений, 5-параметрическая группа изометрических преобразований и бесконечномерная группа конформных преобразований. Делители нуля тут лежат в одной плоскости $Z=0$ и на одной прямой пересекающей эту плоскость в точке (0,0,0). Есть в этом пространстве возможность ввести непротиворечивым образом понятие угла (естеcтвенно, не полностью совпадающее с понятием угла в римановых или псевдоримановых пространствах, но являющееся их естественным обобщением), но самое главное, можно определеить понятие трингла, что в принципе позволяет изучать и нелинейные преобразования, имеющие этот трингл в качестве инварианта. Но Вы ведь не это пространство нам предлагали, а совсем иное, причем не показав ни одного из его, якобы, выдающихся геометрических или алгебраических свойств..

Однако это пространство мало чем отдичается от предыдущего. Судите сами, в соответствующей алгебре Ли немного отличается только один базисный элемент:

$\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0	
\end{array}\right),$

$\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -2	
\end{array}
\right).$

Что касается других предложенных Вами к рассмотрению финслеровых пространств, то я вернусь к ним чуть позже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конференция по финслеровой геометрии
Сообщение10.04.2012, 00:09 


31/08/09
940
bayak в сообщении #558499 писал(а):
Однако это пространство мало чем отдичается от предыдущего.

Угу.. Какие гиперкомплексные числа ему соответствуют? Какая группа конформных преобразований у него? Скалярные полипроизведения сравнивать не пробовали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конференция по финслеровой геометрии
Сообщение12.04.2012, 20:03 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Разве финслерово пространство не может существовать без алгебры? Конечно финслерово пространство, для которого находится определяющая его алгебра, вызывает большее уважение, но можно ведь обойтись и без алгебры, а изучать дополнительные алгебро-геометрические структуры финслерова пространства. Например, если у нас имеется финслерово пространство с метрикой $r^4=(x^2-t^2)z^2$, то подпространство $(x,t)$ можно считать базой, а пространство $z$, свёрнутое в окружность, считать слоем, имеющим структуру группы $U(1)$. Так (с помощью финслерова пространства) можно задать калибровочную связность и в пространстве Минковского.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конференция по финслеровой геометрии
Сообщение12.04.2012, 21:59 


31/08/09
940
bayak в сообщении #559401 писал(а):
Разве финслерово пространство не может существовать без алгебры? Конечно финслерово пространство, для которого находится определяющая его алгебра, вызывает большее уважение, но можно ведь обойтись и без алгебры, а изучать дополнительные алгебро-геометрические структуры финслерова пространства.

Конечно, финслерово пространство может существовать без связанной с ним алгебры. (Почему такие пространства не перспективны, постараюсь объяснить чуть позже.) Но есть и такие финслеровы пространства, у которых есть алгебры, но они все равно не шибко интересны. Дело не просто в связи с алгебрами, дело в непрерывных симметриях. Алгебру (но не всякую) можно просто считать наиболее явным признаком наличия или отсутствия этих самых симметрий. Причем не только линейных, тесно связанных с законами сложения и умножения, но и нелинейных, в частности, конформных, которые в алгебре отыгрываются существованием бедного или богатого множества аналитических функций. Но и конформными симметриями дело не ограничивается. В некоторых многомерных финслеровых пространствах, число измерений которых совпадает с "арностью" метрической формы, к длинам и углам добавляются тринглы и другие полиуглы, а вместе с ними и более инетерсные нелинейные непрерывные симметрии, чем конформные, а тем более, изометрические. Симметрии важны. Они и только они. А алгебры лишь автоматическое следствие богатства или бедности разных симметрий. В "Вашем" пространстве симметрий кот наплакал, особенно конформных (про тринглинвариантные ничего не скажу, но думаю, что и их не много). И потому это пространство, на мой взгляд, не имеет ни одного шанса тягаться, в частности с трехмерным Бервальдом-Моором за лушие и даже сколь ни будь хорошие перспективы. Впрочем, Вы можете не верить моей убежденности и тратить сколько угодно времени на изучение такого слабого на симметрии пространства. Это дело Вашего выбора, Вам за него, в конце концов, и расплачиваться. В частности, напрасно потраченными силами..

 Профиль  
                  
 
 Re: Конференция по финслеровой геометрии
Сообщение12.04.2012, 22:42 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Time в сообщении #559448 писал(а):
Симметрии важны. Они и только они.

А Вас не настораживает то, что евклидово пространство (или пр-во Минковского) в силу своей метрики не допускает широкого класса конформных преобразований? Вполне может быть, что в природе эти симметрии не так уж и важны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конференция по финслеровой геометрии
Сообщение13.04.2012, 07:01 


31/08/09
940
bayak в сообщении #559468 писал(а):
А Вас не настораживает то, что евклидово пространство (или пр-во Минковского) в силу своей метрики не допускает широкого класса конформных преобразований?

Во-первых, не всякое евклидово или псевдоевклидово пространство не допускаeт широкого класса конформных преобразований. Например, двумерные римановы и псевдоримановы многообразия имеют бесконечнопараметрические группы конформных преобразований. Обратите внимание, что тут размерность пространства совпадает с размерностью метрической формы (думаю, что это необходимое, но не достаточное обстоятельство).
Во-вторых, именно двумерные пространства с квадратичным типом метрической функции оказались наиболее плодотворными в физике. На них строятся теории комплексного потенциала и наиболее успешные квантовомеханические модели. Именно к двумерным случаям сводятся такие успехи физики, как совпадения теории и эксперимента для атома водорода или физически интерпретируемые решения уравнений Эйнштейна.
В-третьих, никто же не говорит, что пространства с неидеальным набором симметрий вообще не пригодны для физических моделей, особенно те, симметрии которых хотя бы частично совпадают с самыми явными законами реального мира. Это мы и наблюдаем. Многомерные пространства с квадратичным типом метрики обладают изометрическими симметриями совпадающими с частью законов сохранения, открытых и многократно подтвержденных в экспериментах. Но работать только с такими пространствами в надежде, что они и окажутся самыми удобными, на мой взгляд, опрометчиво. Пространства, у которых среди более богатого разнообразия симметрий, обычные группы Лоренца, Пуанкаре или SU(2), SU(3) являются всего лишь подгруппами более сложных метрически выделенных преобразований - имеют заведомо более хорошие шансы для применений в физике, чем те пространства, в которых только такие группы и есть, а то еще и не все вместе..

 Профиль  
                  
 
 Re: Конференция по финслеровой геометрии
Сообщение13.04.2012, 09:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Time в сообщении #559522 писал(а):
Например, двумерные римановы и псевдоримановы многообразия имеют бесконечнопараметрические группы конформных преобразований.


Это неправда. Вам уже объясняли, почему. В частности, конформная группа риманова многообразия всегда конечномерна. Тем не менее, Вы продолжаете говорить неверные утверждения. Видимо, потому что у себя в журнале написали, а исправлять не хотите.

Time в сообщении #559522 писал(а):
Во-вторых, именно двумерные пространства с квадратичным типом метрической функции оказались наиболее плодотворными в физике.
На них строятся теории комплексного потенциала и наиболее успешные квантовомеханические модели. Именно к двумерным случаям сводятся такие успехи физики, как совпадения теории и эксперимента для атома водорода или физически интерпретируемые решения уравнений Эйнштейна.


Можно про атом водорода подробнее? Что там двумерно? И какое отношение это имеет к конформным преобразованиям?

Теория комплексного потенциала плодотворна в том смысле, что делает многие двумерные модели точно решаемыми. А можете ли Вы привести хотя бы одно физическое утверждение, связанное с двумерными конформными симметриям в евклидовом случае? Пока что, насколько я понимаю, Вы выдавали способ решения задач за фундаментальный физический закон. И этим мотивировали важность бесконечномерности пространства конформным преобразований.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конференция по финслеровой геометрии
Сообщение13.04.2012, 20:33 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Наверно g______d возражает Time обосновано, но лучше объединять усилия, чем обвинять.

Пусть у нас имеется псевдоевклидова плоскость $(x,t)$, но мы бы хотели её так преобразовать, чтобы получилась псевдориманова плоскость $(x',t')$, которая соответствовала бы гравитационной деформации пространства-времени. Разве не справедливо, что $t'=e^{\varphi(x,t)}t$, $x'=e^{-\varphi(x,t)}x$, и разве это не локальные финслеровы повороты в пространстве с метрикой $r^2=xt$? Получается, что гравитационный потенциал сродни финслерову повороту, и эту аналогию легко распространсить на пространство Минковского, если гравипотенциал сравнить с финслеровым поворотом в пространстве с метрикой $r^4=(x^2+y^2+z^2)t^2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 258 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 18  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group