Возможности математики без математической индукции

[Someone]

Lukin в сообщении #555399 писал(а):

А что вообще такое нумерация ?

http://dxdy.ru/post554930.html#p554930

Lukin в сообщении #555399 писал(а):

Т.е. нумерация определяется в теории, для доказательства теорем которой она уже используется (как бы до своего определения) ?

Не сочиняйте всякую ерунду. Хотите разобраться - возьмите книжку по теории множеств и изучайте.

-- Вт апр 03, 2012 17:31:30 --

ewert в сообщении #555380 писал(а):

Someone в сообщении #555374 писал(а):

Вам прямая дорога в конструктивизм. Со всеми его прелестями.

Ну я хоть и экстремист, но не настолько. Пусть себе эта аксиома живёт. Надо лишь трезво сознавать, что она может, а чего не может. Она позволяет получать результаты отрицательного характера. Т.е. если с её помощью доказывается существование чего-то -- значит, в её отсутствие не стоит даже и пытаться доказывать несуществование. И само по себе отбрасывание тупиковой ветви, конечно, полезно. Только вот это существование ненаблюдаемо, подсчитывать же ангелов на кончике иглы -- ну я не могу запретить, конечно...

Я Вашу позицию не понимаю. Неконструктивность классической математики связана не с аксиомой выбора в любом варианте. Есть чисто логические причины неконструктивности (закон исключённого третьего, например). Если в Вашем рассуждении встречается хотя бы один произвольный выбор, рассуждение уже неконструктивно. Без всякой аксиомы выбора. И результат является таким же "ангелом на кончике иглы", хотите Вы этого или нет.

Правка: удалил ответ на сообщение, удалённое его автором.

[LaTeXScience]

epros в сообщении #554733 писал(а):

я оставляю за собой право сомневаться, что словосочетанию "счётное множество" соответствует что-то реальное.

А Вы вообще забудьте, что математическим понятиям должно соответствовать что-то реальное.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #555353 писал(а):

Я Вам хуже того скажу: даже и самой этой функции не существует.

А вот физики ваще $\delta$-функцией Дирака пользуются, а она ещё хуже этой самой

[Lukin]

Someone в сообщении #555429 писал(а):

Lukin в сообщении #555399 писал(а):

Т.е. нумерация определяется в теории, для доказательства теорем которой она уже используется (как бы до своего определения) ?

Не сочиняйте всякую ерунду. Хотите разобраться - возьмите книжку по теории множеств и изучайте.

Так открыл уже, подозрение подтвердилось, нумерация (переменных) используется в доказательствах и определениях изначально, как данность.

Someone в сообщении #554930 писал(а):

Если говорят, что задана последовательность элементов множества $M$, то это означает, что задано некоторое отображение $f\colon\mathbb N\to M$. Когда говорят, что эта последовательность есть нумерация элементов $M$, имеют в виду, что $f$ взаимно однозначно отображает $\mathbb N$ на $M$.

Т.е. мое предположение подтвердилось:

Lukin в сообщении #555399 писал(а):

А что вообще такое нумерация ? В теоретико-множественном смысле это, наверное, отображение минимального бесконечного ординала, в нумеруемое множество. Т.е. даже просто перечисление 0,1,2,3… уже является, в каком то смысле, выбором одного из отображений.

И где я "сочиняю всякую ерунду" ?
Есть счетно-бесконечное множество, есть последовательность 0,1,2,3…, есть доказательство взаимно однозначного отображения первого на второе. Разве явное предъявление последовательности 1,2,3… не является выбором одного взаимно однозначного отображения из множества таких же ?
Разве эта естественная последовательность (или отображение) не используется в любом учебнике изначально, как данность почти в любом доказательстве, хотя бы в доказательстве существования этого самого взаимно однозначного отображения ?

[Someone]

Lukin в сообщении #555563 писал(а):

Так открыл уже, подозрение подтвердилось, нумерация (переменных) используется в доказательствах и определениях изначально, как данность.

Способ обозначения переменных относится к метаязыку, а не к теории множеств.

Lukin в сообщении #555563 писал(а):

даже просто перечисление 0,1,2,3… уже является, в каком то смысле, выбором одного из отображений

Ну, выбрано тождественное отображение натурального ряда на себя. И что? Для определения тождественного отображения множества на себя требуется что-то особенное?

Lukin в сообщении #555563 писал(а):

Разве явное предъявление последовательности 1,2,3… не является выбором одного взаимно однозначного отображения из множества таких же ?

??? Здесь нет никакого выбора. Последовательность имеет явное определение.

[Lukin]

Someone в сообщении #555570 писал(а):

Lukin в сообщении #555563 писал(а):

Так открыл уже, подозрение подтвердилось, нумерация (переменных) используется в доказательствах и определениях изначально, как данность.

Способ обозначения переменных относится к метаязыку, а не к теории множеств.

Так и понятие биекции относится к метатеории.

Someone в сообщении #555570 писал(а):

Lukin в сообщении #555563 писал(а):

даже просто перечисление 0,1,2,3… уже является, в каком то смысле, выбором одного из отображений

Ну, выбрано тождественное отображение натурального ряда на себя. И что? Для определения тождественного отображения множества на себя требуется что-то особенное?

Так является это тождественное отображение множества на себя функцией выбора или нет ?

Someone в сообщении #555570 писал(а):

Lukin в сообщении #555563 писал(а):

Разве явное предъявление последовательности 1,2,3… не является выбором одного взаимно однозначного отображения из множества таких же ?

??? Здесь нет никакого выбора. Последовательность имеет явное определение.

Т.е. предъявление самой последовательности хуже, чем предъявление ее функции ? Я не предъявил "функцию выбора" элементов из счетно-бесконечного множества ?

[Someone]

Lukin в сообщении #555576 писал(а):

Так и понятие биекции относится к метатеории.

Нет, понятие биекции относится к теории множеств.

Lukin в сообщении #555576 писал(а):

Т.е. предъявление самой последовательности хуже, чем предъявление ее функции ? Я не предъявил "функцию выбора" элементов из счетно-бесконечного множества ?

Слушайте, ну какую же ерунду Вы пишете. Последовательность - это функция, определённая на множестве натуральных чисел. Никакой "функцией выбора" последовательность не является. Вообще, читайте учебник и разбирайтесь, я больше не буду тратить время на Вашу бредятину.

[Lukin]

Someone в сообщении #555582 писал(а):

Lukin в сообщении #555576 писал(а):

Так и понятие биекции относится к метатеории.

Нет, понятие биекции относится к теории множеств.

Т.е. есть формальное определение понятия "мощность" ? "класс эквивалентности" ? на языке ZF(C) ?
С удовольствием на него посмотрю и признаю свою ошибку.

Someone в сообщении #555582 писал(а):

Lukin в сообщении #555576 писал(а):

Т.е. предъявление самой последовательности хуже, чем предъявление ее функции ? Я не предъявил "функцию выбора" элементов из счетно-бесконечного множества ?

Слушайте, ну какую же ерунду Вы пишете. Последовательность - это функция, определённая на множестве натуральных чисел. Никакой "функцией выбора" последовательность не является. Вообще, читайте учебник и разбирайтесь, я больше не буду тратить время на Вашу бредятину.

Ну, вот опять отсылка к понятию "натуральные числа", а это самое $\mathbb {N}$ в теории множеств не являются ли выводимым понятием ? Как же его можно использовать как исходное ?
Жаль, что Вы так нетерпимы к наивным вопросам.

[arseniiv]

Lukin в сообщении #555596 писал(а):

Как же его можно использовать как исходное ?

Определить и использовать.

[Lukin]

arseniiv в сообщении #555603 писал(а):

Lukin в сообщении #555596 писал(а):

Как же его можно использовать как исходное ?

Определить и использовать.

Не… сначала использовать, потом определить - так ближе к математической практике. Противоречий же нет ? значит все в ажуре.

[arseniiv]

Вы либо будете писать неуместный сарказм, либо получите ответы.

-- Вт апр 03, 2012 23:28:03 --

Всё определяется перед использованием.

[Профессор Снэйп]

Lukin в сообщении #555563 писал(а):

И где я "сочиняю всякую ерунду" ?

Везде!

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #555518 писал(а):

А вот физики ваще $\delta$-функцией Дирака пользуются, а она ещё хуже этой самой

Нет, она гораздо лучше: она наблюдаема. А вот та самая -- не наблюдаема нигде и никем, и годится разве лишь для оттачивания формулировок.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #555959 писал(а):

Нет, она гораздо лучше: она наблюдаема. А вот та самая -- не наблюдаема нигде и никем, и годится разве лишь для оттачивания формулировок.

Ну-ка, ну-ка... Где это Вы наблюдали функцию Дирака? Не явления, которые можно объяснить в рамках использующей эту функцию теории, а именно саму функцию.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #556044 писал(а):

Где это Вы наблюдали функцию Дирака? Не явления, которые можно объяснить в рамках использующей эту функцию теории, а именно саму функцию.

А не бывает функции вне описываемого ею явления. Ибо не бывает ненужных вещей. "Даже терпентин на что-нибудь сгодится" (с).