Идеи практического применения топологии

[bayak]

g______d писал(а):

Не очень понятно, зачем здесь нужно промежуточное $SU(2)$ (которое, если что, гомеоморфно $S^3$). В принципе, топологически $SU(3)$ устроено как тотальное пространство некоторого (нетривиального) расслоения с базой $S^5$ и слоем $S^3$.

ХитрО. Получается, что над прострнаством Минковского (которое база) "висит" тотальное пространство со своей базой.

Но так получается если под слоем понимать саму группу (как многообразие). Мне же кажется, что более физично под слоем понимать поверхность, касательные линейные векторные поля к которой образуют соответствующую алгебру Ли.

[g______d]

Ну хорошо. Тогда $\mathbb R^n$ --- вообще страшная вещь: это прямая, над которой висит прямая, над которой висит прямая, ... --- и так $n-1$ раз :)

[bayak]

g______d писал(а):

Ну хорошо. Тогда $\mathbb R^n$ --- вообще страшная вещь: это прямая, над которой висит прямая, над которой висит прямая, ... --- и так $n-1$ раз :)

Хорошо. Прокомментируйте тогда и добавленный пассаж.

[Bulinator]

Так-с, начнем(разминаю пальцы:-) )

Keter в сообщении #546849 писал(а):

Bulinator а что означает термин "локальные фазовые вращения"?

Это означает, что фаза $\varphi$ зависит от точки базы. т.е. слой в каждой точке меняется по разному.

bayak в сообщении #546952 писал(а):

Наверно, Вы имели ввиду группу $SU(2)$.

Всмысле пространств они изоморфны(гомеоморфны). Ну да, если так, то это главное расслоение со слоем $SU(2)$ и базой $\mathbb{R}^{1,3}$. Тогда и для электромагнетизма все $S^1$ надо заменить на $U(1)$.

bayak в сообщении #546952 писал(а):

А если поля строятся по группе $SU(3)$, то какой будет слой?

Ну группа $SU(3)$- группа Ли. Она и будет слоем.

[g______d]

bayak в сообщении #547098 писал(а):

Хорошо. Прокомментируйте тогда и добавленный пассаж.

Ну как, вспомните определение расслоения. $\mathbb R^2$ --- это тривиальное расслоение над $\mathbb R$ со слоем $\mathbb R$, $\mathbb R^3$ --- то же самое, но со слоем $\mathbb R^2$, и т. д.

На самом деле это была шутка, смысл которой в том, что сложное в простом всегда можно найти :) Не уверен, что она была здесь уместной.

[Lev65]

А вот еще,если хотите, вам простой и всем понятный примерчик практического применения топологии: приводной ремень для шкивов в виде ленты Мебиуса...

[bayak]

g______d писал(а):

Ну как, вспомните определение расслоения. $\mathbb R^2$ --- это тривиальное расслоение над $\mathbb R$ со слоем $\mathbb R$, $\mathbb R^3$ --- то же самое, но со слоем $\mathbb R^2$, и т. д.

На самом деле это была шутка, смысл которой в том, что сложное в простом всегда можно найти :) Не уверен, что она была здесь уместной.

Эту шутку я понял, но просил Вас пошутить ещё над одним моим пассажем:

Цитата:

Но так получается если под слоем понимать саму группу (как многообразие). Мне же кажется, что более физично под слоем понимать поверхность, касательные линейные векторные поля к которой образуют соответствующую алгебру Ли.

[g______d]

bayak в сообщении #547879 писал(а):

Эту шутку я понял, но просил Вас пошутить ещё над одним моим пассажем:

Цитата:

Но так получается если под слоем понимать саму группу (как многообразие). Мне же кажется, что более физично под слоем понимать поверхность, касательные линейные векторные поля к которой образуют соответствующую алгебру Ли.

Что такое "линейные векторные поля"? Если это просто все векторные поля, то они образуют очень большую (бесконечномерную) алгебру Ли.

[bayak]

g______d в сообщении #547988 писал(а):

Что такое "линейные векторные поля"? Если это просто все векторные поля, то они образуют очень большую (бесконечномерную) алгебру Ли.

Под линейными векторными полями я подразумевал векторные поля с линейными коэффициентами в $\mathbb{R}^{n}$, т.е. когда координатами векторного поля служат линейные комбинации координат пространства $\mathbb{R}^{n}$. Тогда, например, линейные векторные поля в $\mathbb{R}^{2}$, касательные к концентрическим окружностям, образуют алгебру Ли $so(2)$, а линейные векторные поля в $\mathbb{R}^{3}$, касательные к осецентрическим окружностям, образуют алгебру Ли $so(3)$. Аналогично, линейные векторныее поля в $\mathbb{R}^{4}$, касательные к концентрическим сферам $S^{3}$, образуют алгебру Ли, изоморфную $su(2)$, а линейные векторные поля в $\mathbb{R}^{6}$, касательные к сферам $S^{3}$ вдоль произвольных плоскостей, пересекающих точку отсчёта, образуют алгебру Ли, изоморфную $su(3)$.

Что касается физики, то там всегда правила бал линейность, и поэтому, наверно, было бы неплохо, чтобы кварки барахтались в линейном пространстве, а не в групповом расслоении.

[g______d]

Это все надо доказывать. Даже если так, непонятно, почему здесь должна быть какая-то физика. Но детали конструкции я бы предложил обсуждать в дискуссионном разделе (что-то там сейчас скучно).

[Bulinator]

bayak в сообщении #548172 писал(а):

Что касается физики, то там всегда правила бал линейность, и поэтому, наверно, было бы неплохо, чтобы кварки барахтались в линейном пространстве, а не в групповом расслоении.

Вы отстали от жизни. Сейчас уже весь кайф в нелинейности. Я давал ссылку на статью в Википедии.
Посмотрите пример с $O(n)$ калибровочной симметрией. Сразу станет понятно, что слой ввиде группы более естесственен.
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_theo ... uge_theory

[bayak]

g______d в сообщении #548251 писал(а):

Это все надо доказывать. Даже если так, непонятно, почему здесь должна быть какая-то физика. Но детали конструкции я бы предложил обсуждать в дискуссионном разделе (что-то там сейчас скучно).

Собственно, там и доказывать нечего - обычная рутинная проверка. Однако, если есть желание обсудить детали конструкции, то я не против переноса этой ветки в дискуссионный раздел (непонятно только какой - то ли физики, то ли математики), но тогда надо попросить модератора или создавать какую-то новую тему.

Bulinator в сообщении #548261 писал(а):

Вы отстали от жизни.

Очень даже может быть.

[kostiani]

svv в сообщении #546656 писал(а):

Электрон есть узел пространства-времени. Он не может развязаться, пока не встретится с антиузлом, что мы трактуем как сохранение заряда.

Что значит на языке математики "встретиться"? Можно ли более массивные материальные объекты интерпретировать как узлы пространства- времени? ( они будут представлять собой простую сумму менее меньших узлов ?)

[Munin]

Всё это на языке математики ничего не значит. При попытке перевода на этот язык обращается в ноль.

[kostiani]

Munin

Цитата:

Всё это на языке математики ничего не значит.

Это предложение мне понятно. Спасибо.

Цитата:

При попытке перевода на этот язык обращается в ноль.

Это не совсем.