Базис, квадратичные формы, матрицы (лин. алгебра)

[Andrei94]

Так-с. Тогда сделаю такие же обозначения, как в википедии.

$\mathbf{a_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$

$\mathbf{a_2}=\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -1 \\ -1 \\ \end{pmatrix}$

$\mathbf{b_1}=\mathbf{a_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$

$\mathbf{b}_2 & = & \mathbf{a}_2-\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1}\,\mathbf{a}_2$

$\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1}\,\mathbf{a}_2=\dfrac{4}{2}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$

$\mathbf{b}_2 =\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -1 \\ -1 \\ \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \\ -3 \\ \end{pmatrix}$

Правильно? Вроде как - нет, так как, насколько я понимаю, должны быть $\mathbf{b}_2$ и $\mathbf{a}_1$ ортогональны.

-- 30.03.2012, 01:46 --

Human в сообщении #553656 писал(а):

Andrei94 в сообщении #553654 писал(а):

То есть у нас должно быть так?

Да. Ну, проверьте, ортогональны они?

Ой, а я думал, что там было неправильно...

[Human]

Andrei94 в сообщении #553657 писал(а):

$\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1}\,\mathbf{a}_2=\dfrac{4}{2}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$

Должно быть $\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1}\,\mathbf{a}_2=\dfrac{4}{4}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$

[Andrei94]

Human в сообщении #553661 писал(а):

Andrei94 в сообщении #553657 писал(а):

$\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1}\,\mathbf{a}_2=\dfrac{4}{2}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$

Должно быть $\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1}\,\mathbf{a}_2=\dfrac{4}{4}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$

Да, точно!

$\mathbf{b}_2 =\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -1 \\ -1 \\ \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \\ -2 \\ \end{pmatrix}$

Вот теперь есть ортогональность и можно нормировать.

Вот тот самый ортонормированный базис!

$\mathbf{a}_2 =\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,5 \\ 0,5 \\ 0,5 \\ \end{pmatrix}$

$\mathbf{b}_2 =\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,5 \\ -0,5 \\ -0,5 \\ \end{pmatrix}$

Оказалось все просто, на первый взгляд казалось сложнее. Спасибо, что помогли разобраться!

[Human]

ИМХО, не стоит использовать метод Грама-Шмидта без сильной необходимости. В некоторых случаях, как например в Вашей задаче, ортогональную систему можно выудить просто внимательным вглядыванием. Один из способов: попытаться обнулить как можно больше компонент в векторах. Это как раз и сделал svv в одном из первых своих сообщений в этой теме.