2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Базис
Сообщение30.03.2012, 01:43 
Так-с. Тогда сделаю такие же обозначения, как в википедии.

$\mathbf{a_1}=\begin{pmatrix}
 1 \\ 
 1 \\ 
 1 \\ 
 1 \\
\end{pmatrix}$

$\mathbf{a_2}=\begin{pmatrix}
 3 \\ 
 3 \\ 
 -1 \\ 
 -1 \\
\end{pmatrix}$

$\mathbf{b_1}=\mathbf{a_1}=\begin{pmatrix}
 1 \\ 
 1 \\ 
 1 \\ 
 1 \\
\end{pmatrix}$

$\mathbf{b}_2 & = & \mathbf{a}_2-\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1}\,\mathbf{a}_2$

$\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1}\,\mathbf{a}_2=\dfrac{4}{2}\cdot \begin{pmatrix}
 1 \\ 
 1 \\ 
 1 \\ 
 1 \\
\end{pmatrix}$

$\mathbf{b}_2 =\begin{pmatrix}
 3 \\ 
 3 \\ 
 -1 \\ 
 -1 \\
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
 2 \\ 
 2 \\ 
 2 \\ 
 2 \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 1 \\ 
 1 \\ 
 -3 \\ 
 -3 \\
\end{pmatrix}$

Правильно? Вроде как - нет, так как, насколько я понимаю, должны быть $\mathbf{b}_2$ и $\mathbf{a}_1$ ортогональны.

-- 30.03.2012, 01:46 --

Human в сообщении #553656 писал(а):
Andrei94 в сообщении #553654 писал(а):
То есть у нас должно быть так?

Да. Ну, проверьте, ортогональны они?

Ой, а я думал, что там было неправильно...

 
 
 
 Re: Базис
Сообщение30.03.2012, 01:55 
Аватара пользователя
Andrei94 в сообщении #553657 писал(а):
$\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1}\,\mathbf{a}_2=\dfrac{4}{2}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$

Должно быть $\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1}\,\mathbf{a}_2=\dfrac{4}{4}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$

 
 
 
 Re: Базис
Сообщение30.03.2012, 02:02 
Human в сообщении #553661 писал(а):
Andrei94 в сообщении #553657 писал(а):
$\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1}\,\mathbf{a}_2=\dfrac{4}{2}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$

Должно быть $\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1}\,\mathbf{a}_2=\dfrac{4}{4}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$


Да, точно!

$\mathbf{b}_2 =\begin{pmatrix}
 3 \\ 
 3 \\ 
 -1 \\ 
 -1 \\
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
 1 \\ 
 1 \\ 
 1 \\ 
 1 \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 2 \\ 
 2 \\ 
 -2 \\ 
 -2 \\
\end{pmatrix}$

Вот теперь есть ортогональность и можно нормировать.

Вот тот самый ортонормированный базис!

$\mathbf{a}_2 =\begin{pmatrix}
 0,5 \\ 
 0,5 \\ 
 0,5 \\ 
 0,5 \\
\end{pmatrix}$

$\mathbf{b}_2 =\begin{pmatrix}
 0,5 \\ 
 0,5 \\ 
 -0,5 \\ 
 -0,5 \\
\end{pmatrix}$

Оказалось все просто, на первый взгляд казалось сложнее. Спасибо, что помогли разобраться!

 
 
 
 Re: Базис
Сообщение30.03.2012, 02:10 
Аватара пользователя
ИМХО, не стоит использовать метод Грама-Шмидта без сильной необходимости. В некоторых случаях, как например в Вашей задаче, ортогональную систему можно выудить просто внимательным вглядыванием. Один из способов: попытаться обнулить как можно больше компонент в векторах. Это как раз и сделал svv в одном из первых своих сообщений в этой теме.

 
 
 [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group