Зачем и каким образом учить доказательства теорем?

[Sledovatel]

Здравствуйте. Два вопроса обозначены, собственно, в названии темы.
1. В чём смысл того, чтобы учить доказательства теорем? Причины, которые мне называли, таковы: мы должны понимать, как выводится теорема (однако все готовы поверить на слово, что теорема верна, к тому же если не учить доказательства, будет больше времени на разбор задач с применением этой теоремы), знать математические методы доказательства (два возражения: 1 - на практике у нас очень редко встречаются задачи на доказательства, 2 - всё забывается). Есть ли более убедительные аргументы в пользу знания доказательств? Когда не понимаешь, для чего что-то делаешь, это делается с трудом.
2. В независимости от того, имеет ли знание доказательств практическую пользу или нет, их придётся учить. Вопрос: как это делать? С точки зрения преподавателя, как должен выглядеть этот процесс? В теме topic53330.html писали, что их не надо учить, их надо просто понимать, а если будет понимание, то будет и знание. Так вот, это не выполняется. Я могу около часа разбирать сложное доказательство, понять всё до запятой и на следующий день не помнить ни общего принципа, не последовательности действий. Всё заканчивается тем, что приходится заучивать доказательства, 4-5 раз "воспроизводя" его на листе бумаги по памяти. Процесс схож с заучиванием стихотворения и занимает много времени, что не может нравиться. Может, я просто не знаю специальных методик?
Вопросы назревали давно, но сейчас приобрели особую актуальность в свете приближающегося коллоквиума по алгебре, к которому надо выучить 25+ теорем с доказательствами, многие из которых занимают много больше, чем полстраницы.
Заранее большое спасибо за подробные ответы и конкретные советы.

[alcoholist]

Sledovatel в сообщении #553079 писал(а):

Процесс схож с заучиванием стихотворения

Хорошее стихотворение запоминается легко

[Munin]

Существуют теоремы, в которых большое значение имеет сам факт, утверждаемый теоремой. И существуют теоремы, в которых большое значение имеет идея доказательства, а факт по сравнению с ней более второстепенен.

Идея доказательства может быть важна, если вы математик, и хотите доказать аналогичную теорему. И она может быть важна, если вы не математик, но хотите применить такую или аналогичную теорему. Не возясь с доказательствами и точными формулировками, но опираясь на интуитивное знание, что некоторый факт верен. Или может быть сделан верным какими-то оговорками, углубляться в которые вас сейчас не интересует.

Sledovatel в сообщении #553079 писал(а):

Я могу около часа разбирать сложное доказательство, понять всё до запятой и на следующий день не помнить ни общего принципа, не последовательности действий.

Это от слабых навыков. Собственно, заучивание доказательств и прочие упражнения - это тренировка нужных навыков. Чем, собственно, надо заниматься не только перед экзаменами, но и весь семестр. Разобрали, забыли - ничего. Разберите ещё раз. На следующий день забудете уже не всё подчистую.

От одного подтягивания на турнике мускулы не появятся. Но от десятков и сотен - появятся.

Sledovatel в сообщении #553079 писал(а):

Вопросы назревали давно, но сейчас приобрели особую актуальность в свете приближающегося коллоквиума по алгебре, к которому надо выучить 25+ теорем с доказательствами, многие из которых занимают много больше, чем полстраницы.

Их стоило учить (а точнее, разбирать, запоминать, применять - применение сильно помогает запоминанию, воспроизводить) задолго до коллоквиума, начиная с того момента, когда их вам дали на лекциях. Сейчас вы, конечно, можете попытаться "нарастить мускулы" за короткий срок, но думаю, вам надо извлечь жизненный урок, и загодя начинать готовиться к последующим коллоквиумам и экзаменам.

[alcoholist]

Относитесь к теоремам как к задачам -- можно же воспроизвести решение задачи, если вчера его прочел

[ewert]

Sledovatel в сообщении #553079 писал(а):

мы должны понимать, как выводится теорема (однако все готовы поверить на слово,

Существует общая логика курса (любого курса). И доказательства -- это кирпичики той логики. Не вникая в доказательства хоть чуть-чуть, Вы ничего и понимать не будете. Просто набора формулировок недостаточно: из него логика не высвечивается. (Т.е. высвечивается, при грамотной их композиции, но и в этом случае -- только для тех, кто этот курс уже знает). Зубрёжка формулировок -- конечно, необходимый элемент обучения, но откровенно недостаточный для понимания.

[Padawan]

Доказательство даже важнее формулировки )

-- Ср мар 28, 2012 23:03:23 --

Sledovatel в сообщении #553079 писал(а):

Я могу около часа разбирать сложное доказательство, понять всё до запятой и на следующий день не помнить ни общего принципа, не последовательности действий.

Попробуйте почитать доказательства в разных источниках, сравните их, подумайте, может что-то в доказательстве можно упростить. Не привязывайтесь к конкретному тексту доказательства, а попытайтесь понять логику его построения. Полезно подумать, все ли условия теоремы использованы, в каком именно месте.

[ewert]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #553150 писал(а):

Доказательство даже важнее формулировки )

Это когда как. Навскидку пара примеров (из практически значимых).

1). Теорема Пикара (насчёт того, что что аналитическая функция принимает все значения, кроме, может, одного; ну с любыми прибамбасами и в любом варианте). Интуитивно вполне воспринимаема, доказательство же -- в любом случае крайне занудно.

2). Ещё одна теорема Пикара, но совсем из другой оперы -- насчёт существования и единственности решений дифференциальных уравнений. Совершенно очевидно обосновывается (на неформальном уровне) методом Эйлера. Но ни в коем случае не доказывается, нет! Формальное доказательство -- это опять же в любом варианте некоторое занудство.

И в обоих случаях занудство -- не содержит в себе чего-то особо уж принципиального. (Правда, ко второму случаю это относится меньше.)

[Xaositect]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #553157 писал(а):

2). Ещё одна теорема Пикара, но совсем из другой оперы -- насчёт существования и единственности решений дифференциальных уравнений. Совершенно очевидно обосновывается (на неформальном уровне) методом Эйлера. Но ни в коем случае не доказывается, нет! Формальное доказательство -- это опять же в любом варианте некоторое занудство.

У нас, насколько я помню, именно через метод Эйлера и доказывали. Ну то есть доказывали, что он сходится и предел будет решением.

[alcoholist]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #553157 писал(а):

Ещё одна теорема Пикара, но совсем из другой оперы -- насчёт существования и единственности решений дифференциальных уравнений. Совершенно очевидно обосновывается (на неформальном уровне) методом Эйлера. Но ни в коем случае не доказывается, нет! Формальное доказательство -- это опять же в любом варианте некоторое занудство.

эту теорему можно доказать исходя из принципа сжимающих отображений -- концептуально

[ewert]

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #553220 писал(а):

эту теорему можно доказать исходя из принципа сжимающих отображений -- концептуально

можно, конечно; и даже ровно так и нужно. Однако же это -- именно занудство. На уровне же правдоподобного размахивания руками -- всё сводится просто к простейшей формуле Тейлора.

-- Чт мар 29, 2012 00:23:04 --

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #553183 писал(а):

У нас, насколько я помню, именно через метод Эйлера и доказывали.

А это, кстати, -- не лучший вариант. Т.е. через сжимающие отображения -- и впрямь не в пример концептуальнее.

[Padawan]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #553228 писал(а):

На уровне же правдоподобного размахивания руками

Это не математика, а черти что.

[ewert]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #553231 писал(а):

Это не математика, а черти что.

Это -- пиджин-математика; и это -- ровно то, что нужно прикладникам. Когда математика хотя бы делает вид, что она строгая, не отрываясь при этом от приложений и хотя бы намекая на возможности своего формального обоснования, буде это понадобится.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #553239 писал(а):

и это -- ровно то, что нужно прикладникам.

Презирая то, что нужно прикладникам, разбираться в этом вы не станете.

[Профессор Снэйп]

Доказательства не надо заучивать! В них надо досконально разбираться, тогда они запомнятся сами. Если этого вдруг не происходит, то, скорее всего, разбор доказательства подменяется имитацией сего действия.

У меня лучше всего получалось действовать следующим образом. Прочитав очередную формулировку теоремы, я первым делом пытался доказать её самостоятельно. Если не получалось, начинал постепенно читать доказательство, строчка за строчкой, и после прочтения каждой фразы возобновлял попытки самостоятельного доказательства.

Парадоксально, но факт: лучше всего запоминались теоремы, которые на лекциях читали "как попало". Просто для того, чтобы понять их доказательства, приходилось прилагать неимоверные умственные усилия

[Munin]

Профессор Снэйп в сообщении #553277 писал(а):

У меня лучше всего получалось действовать следующим образом. Прочитав очередную формулировку теоремы, я первым делом пытался доказать её самостоятельно. Если не получалось, начинал постепенно читать доказательство, строчка за строчкой, и после прочтения каждой фразы возобновлял попытки самостоятельного доказательства.

Наиболее трудоёмкий, но наиболее качественный подход. ППКС.