4-ток

[EvilPhysicist]

Что-то я совсем запутался с 4-током.
Пишем действие для релятивистской частицы в э.м. поле $ S= -mc \int ds - \cfrac{q}{c} \int A_k dx^k - \cfrac{1}{16 \pi c} \int F_{ik} F^{ik} d \Omega $ и собственно не понятно, как в члене, описывающим взд-е вещества с полем, переходим к токам.

Собственно, заменяю пишем этот член для бесконечно малого заряда $ -\int \cfrac{dq}{c} A_k dx^k = - \int \cfrac{1}{c} \rho dV A_k dx^k =- \int \cfrac{1}{c} A_k \rho \cfrac{dx^k}{dt} dV dt $, далее $ dV dt = d \Omega $, $ \rho \cfrac{dx^k}{dt} = j^k $ и получаем $ - \cfrac{1}{c} \int A_k j^k d\Omega $, вместо $ - \cfrac{1}{c^2} \int A_k j^k d \Omega $

И собственно, я ошибаюсь в том, что $ d\Omega = dV dt $, а надо $ d\Omega = dV c dt $ или в определении 4-тока?

[Taus]

Вы ошибаетесь и там, и там: $d\Omega = dV cdt$ и $j^k = \rho\dfrac{dx^k}{cdt}$.

[EvilPhysicist]

Taus в сообщении #552777 писал(а):

Вы ошибаетесь и там, и там: $d\Omega = dV cdt$ и $j^k = \rho\dfrac{dx^k}{cdt}$.

Тогда это ничего не меняет $ - \cfrac{1}{c} \int A_k \rho \cfrac{dx^k}{dt} dV dt = - \cfrac{1}{c} \int A_k \underbrace{\rho \cfrac{dx^k}{cdt}}_{j^k} \underbrace{dV c dt}_{d\Omega} $, всё равно не то, что нужно.

[Taus]

EvilPhysicist, простите, перепутал $j^k = \rho \dfrac{dx^k}{dt}$, конечно же (размерность сходится ).

[Munin]

По-моему, если размерность не сходится на степень $c,$ надо вспомнить, что $c=1,$ и не париться. Проще, чем запоминать все-все-все величины с размерностями с учётом степени $c.$

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #552797 писал(а):

если размерность не сходится на степень $c,$ надо вспомнить, что $c=1,$ и не париться

Это конечно проще, но меня бы совесть замучила.

[mihiv]

$d\Omega =dVcdt,j^k=\rho \dfrac {dx^k}{dt}$,в частности,$j^0=\rho \dfrac {d(ct)}{dt}=c\rho $

[EvilPhysicist]

mihiv в сообщении #552968 писал(а):

$d\Omega =dVcdt,j^k=\rho \dfrac {dx^k}{dt}$,в частности,$j^0=\rho \dfrac {d(ct)}{dt}=c\rho $

Да, я уже понял.
Спасибо Taus и mihiv.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #552887 писал(а):

Это конечно проще, но меня бы совесть замучила.

А где вам надо массово работать с вычислениями в 4-величинах, и при этом в системе $c\ne 1$?

Ещё вариант: добавлять $c$ только там, где есть $t,$ по шаблону $t\to ct.$ Все определения величин приводить к такому виду, где есть в явном виде координаты или время, и какая-то другая величина, с уже установленной размерностью, или 4-скаляр. Например, ($\mu=0,\ldots,3,$ $i=1,\ldots,3$) вводим $q=\int j^\mu dS_\mu.$ Дальше для площадки, ориентированной по пространству, $dS_0=dx\,dy\,dz,$ для площадки, ориентированной по времени, $dS_i=d\mathbf{S}\,c\,dt,$ и в итоге $j^\mu=(\rho,\tfrac{\mathbf{j}}{c}).$ Упс, всё получилось в $c$ раз меньше. Но по крайней мере, между компонентами соотношение то же, что и в "официальных определениях".

Видимо, есть ещё одно неформальное негласное правило. Если 4-величина - аналог какой-то 3-величины, то пространственные компоненты 4-величины должны по размерности совпадать с 3-величиной. Хотя, для скорости оно как раз нарушается. Короче, винегрет это всё, запоминания недостойный.