Задачка на Лагранжиан

[В. Войтик]

Bulinator в сообщении #550823 писал(а):

srm в сообщении #550722 писал(а):

Насколько я понимаю, Лагранжев и Гамильтонов формализм - равносильные методы.

Не совсем. Гамильтонова формулировка механических систем более общая. Не для всякого Гамильтониана существует Лагранжиан. Зато обратное утверждение верно(с какими-то оговорками).

А почему не для всякого? Вот есть гамильтониан $H=H(p,q,t)$. Лагранжианом будет соответствующее преобразование Лежандра:
$L = p_i \frac{{\partial H}}{{\partial p_i }} - H$
где обобщённые импульсы заменены на скорости из уравнения
$\dot q_i = \frac{{\partial H}}{{\partial p_i }}$.

[srm]

В. Войтик, мне тоже неясно. Многие авторы учебников по теормеху начинают именно с Лагранжева формализма, определяют действие $S=\int L\left(q,\dot{q},t\right)dt$ и получают уравнения для экстремальной траектории (уравнения Лагранжа). А уже потом переходят к Гамильтонову формализму, вводя преобразование координат: $p_{i}=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^{i}}$ и гамильтониан: $H=p_{i}\dot{q}^{i}-L$. Такое преобразование возможно лишь если $\frac{\partial^{2}L}{\partial\dot{q}^{i}\partial\dot{q}^{j}}$ не вырождена. То есть, Лагранжев формализм оказывается фундаментальным, а Гамильтонов - некоторая надстройка над Лагранжевым, которая не всегда возможна.

[espe]

Для вырожденных теорий тоже можно построить гамильтонов формализм. Схематично это выглядит так. Пусть есть лагранжиан $L(q^i,\dot{q}^i)$. Строим расширенную теорию с лагранжианом $L'(q^i,v^i,p_i)=p_i(\dot{q}^i-v^i)+L(q^i,v^i)$. То есть мы добавили связь $\dot{q}^i=v^i$ с лагранжевым множителем $p_i$ и заменили в исходном лагранжиане $\dot{q}^i$ на $v^i$. После этого выражаем из уравнений движения $\frac{\partial L'}{\partial v^i}=0$ те скорости $v^i$, которые можно выразить и подставляем их в $L'$. Те которые нельзя выразить остаются. Они будут входить в $L'$ линейно и будут играть роль лагранжевых множителей, которые обозначим $\lambda^\alpha$. В результате "лагранжиан примет гамильтонов вид"

$$L_H=p_i\dot{q}^i-H(q,p)-\lambda^\alpha\varphi_\alpha(q,p).$$

Ну и дальше нужно анализировать полученную гамильтонову теорию. То есть вырожденный лагранжиан означает присутствие связей в гамильтоновом формализме.

[Ales]

Oleg Zubelevich в сообщении #551320 писал(а):

Ales в сообщении #551262 писал(а):

Можно ли любую систему каноническим преобразованием привести к виду $H(q,p) = p^2 + U(q)$?

вообще говоря, нет. Систему с гамильтонианом $H=p^3$ на множестве содержащем $p=0$ не приведете.
В окрестности неособой точки гамильтонова векторного поля можно привести , последнее следует из теоремы о выпрямлении векторного поля post535364.html#p535364

Это локально.
А можно ли глобально?

-- Сб мар 24, 2012 00:18:48 --

srm в сообщении #551344 писал(а):

Такое преобразование возможно лишь если $\frac{\partial^{2}L}{\partial\dot{q}^{i}\partial\dot{q}^{j}}$ не вырождена.

Для реальных систем она невырождена.
Поэтому всегда можно перейти к гамильтоновой системе.

[Oleg Zubelevich]

Ales в сообщении #551592 писал(а):

Для реальных систем она невырождена.
Поэтому всегда можно перейти к гамильтоновой системе.

в оптике вырождена

[Bulinator]

В. Войтик в сообщении #551332 писал(а):

А почему не для всякого?

Я думаю, что это, например, потому, что Лагранжиан всегда задан на касательном расслоении какого-то многообразия $L:TM\to \mathbb{R}$ и соответствующий ему Гамильтониан будет определен на кокасательном расслоении $H:T*M\to \mathbb{R}$. Гамильтонову систему же можно определить на более общем- симплектическом многообразии $(M,\omega^{(2)})$, которое, в частности, даже может быть компактным(в отличие от кокасательного расслоения, которое всегда некомпактно).

Я знаю одну такую систему, с применением в высокой науке. Берем $S^2$ с Римановыми координатами $z=\frac{q_1+\imath q_2}{1+q_3}$ ($q_1^2+q_2^2+q_3^2=1$)и определяем скобку Пуассона(обратную симплектическую 2-форму)
$\{z,\bar z\}=(\text{коэффициент типа 1/2})(1+z\bar z)^2$.
Можно записать Гамильтониан $H:T*\mathbb{R}^5\times S^2\to\mathbb{R}$
$H=\frac{1}{2}\left(p^2+\frac{s^2}{r^2}\right)$
и скобки Пуассона
$\{p_\mu,p_\nu\}=F_{\mu\nu}^ih_i$ $\mu,\nu=1,\ldots,5,\quad i=1,\ldots,3$.
Тут $F_{\mu\nu}^i=\partial_\mu A^i_\nu-\partial_\nu A^i_\mu+\varepsilon^{ijk}A_\mu^j A_\nu^k$
тензор ЭМ поля монополя Янга, вектор-потенциал которого имеет вид
$A_\mu^i=\frac{\eta^i_{\mu\nu}x_\mu}{r(r+x_5)}$($\eta^i_{\mu\nu}$-символ т'Хофта, а $r^2=\delta^{ij}x_ix_j$)
$h_2+\imath{h_1}=\frac{2z}{1+z\bar z},\quad h_3=\frac{1-z\bar z}{1+z\bar z}$(с точностью до каких-то коэффициентов.)
Можно посчитать, что
$\{h_i,h_j\}=\varepsilon_{ijk}h_k$
Над этой системой как-то колдуют(компактифицируют и еще чегой-то, потом квантуют и получают изоспин).
Так вот, хоть и локально, вы всегда можете нарисовать Лагранжиан для такой системы, глобально у Вас ничего не получится по уазанной выше причине(компактность- некомпактность).

[ИгорЪ]

Ales в сообщении #551592 писал(а):

Для реальных систем она невырождена.

Она вырождена для релятивистской частицы, калибровочных полей, включая электромагнитное, ну про гравити и стринги я уж и говорить стесняюсь.

[Munin]

(Оффтоп)

ИгорЪ в сообщении #552126 писал(а):

про гравити и стринги я уж и говорить стесняюсь.

Давно бы так...

[Ales]

ИгорЪ в сообщении #552126 писал(а):

Ales в сообщении #551592 писал(а):

Для реальных систем она невырождена.

Она вырождена для релятивистской частицы, калибровочных полей, включая электромагнитное, ну про гравити и стринги я уж и говорить стесняюсь.

Ну вот, накидали кучу всего, а я только имел в виду классическую механику.

А почему там наблюдается вырождение? И как в таком случае вводят импульсы?

[Bulinator]

Ales в сообщении #552466 писал(а):

И как в таком случае вводят импульсы?

Связями. Если интеренсно, посмотрите книгу Дирак, "Принципы квантовой механики". Бонус-глава "Лекции по квантовой механике".

[Ales]

Bulinator в сообщении #552471 писал(а):

Ales в сообщении #552466 писал(а):

И как в таком случае вводят импульсы?

Связями. Если интеренсно, посмотрите книгу Дирак, "Принципы квантовой механики". Бонус-глава "Лекции по квантовой механике".

Спасибо, посмотрю.
Но квантовая механика, кажется, работает с распределениями.
Лучше бы, примерчик из оптики или какие-нибудь геодезические.

[Bulinator]

Ales в сообщении #552480 писал(а):

Но квантовая механика, кажется, работает с распределениями.

Это книга так называется. В начале лекций все о классике.

[obar]

Я бы очень рекомендовал замечательную книгу
Гитман Д.М., Тютин И.В. Каноническое квантование полей со связями.
Думаю, ТС хватит прочитать первые две главы, чтобы получить ответы на инересующие вопрсы.

[srm]

Спасибо за литературу. Меня интересует связь классической механики с движением в искривлённых многообразиях. К сожалению, диф геометрию я знаю плохо. Хотелось бы, чтобы в книге изложение материала по диф геометрии и по механике шло параллельно (как, например, в книге "Гравитация").

[Munin]

srm в сообщении #552620 писал(а):

Хотелось бы, чтобы в книге изложение материала по диф геометрии и по механике шло параллельно

По-моему, это слишком завышенные требования к книге. Проще положить рядом два учебника, и читать их параллельно.