Задачка на Лагранжиан

[Oleg Zubelevich]

srm в сообщении #549939 писал(а):

Oleg Zubelevich, так что там с тензором инерции?

Я не ставлю себе задачей вас образовывать, просто, когда вы пишите глупость и я ее вижу, то отмечаю, чтоб другие тоже видели.
Один раз сделаю исключение.
Начнем с того, что тензор инерции определяется для твердого тела или для системы материальных точек расстояния между которыми постоянны во времени. Поэтому говорить о тензоре инерции в произвольной лагранжевой системе бессмысленно. Оператор инерции определяется так: $J_C\overline a=\sum_im_i[\overline r_i,[ \overline a, \overline r_i]]$, где $r_i$ -- радиус вектор проведенный из точки $C$ в точку в которой находится масса $m_i$. Каждая компонента оператора $J_C$ имеет размерность кг*м^2. Иногда у оператора инерции опускают индекс с помощью стандартного метрического тензора нашего физического $\mathbb{R}^3$ и получают билинейную форму.

И еще:

srm в сообщении #548284 писал(а):

Единственная проблема, в условии ничего не сказано про то, что матрица $g_{lk}$ не вырождена. Интуитивно понятно, что Лагранжиан в данном случае равен кинетической энергии, следовательно $g_{lk}$ есть ничто иное, как тензор инерции, а он всегда положительно определённый и невырожденный

так вот тензор инерции является, вообще говоря, неотрицательно определенным, он оказывается вырожденным если, например, твердое тело это тонкий стержень, а матрица кинитической энергии $g_{ij}$ в обобщенных координатах действительно всегда невырождена, это следует из определения обобщенных координат.

[srm]

Oleg Zubelevich в сообщении #549966 писал(а):

Начнем с того, что тензор инерции определяется для твердого тела или для системы материальных точек расстояния между которыми постоянны во времени. Поэтому говорить о тензоре инерции в произвольной лагранжевой системе бессмысленно.

Это Вы сами придумали? Раз Вы ни разу не видели, это не значит что бессмысленно. Прочтите про матрицы однородного преобразования координат. Посмотрите как выражается кинетическая энергия через эти матрицы и по какому правилу преобразуются компоненты тензора, связывающего кинетическую энергию с обобщёнными скоростями при таком методе описания движения механической системы.

Oleg Zubelevich в сообщении #549966 писал(а):

Оператор инерции определяется так: $J_C\overline a=\sum_im_i[\overline r_i,[ \overline a, \overline r_i]]$, где $r_i$ -- радиус вектор проведенный из точки $C$ в точку в которой находится масса $m_i$. Каждая компонента оператора $J_C$ имеет размерность кг*м^2. Иногда у оператора инерции опускают индекс с помощью стандартного метрического тензора нашего физического $\mathbb{R}^3$ и получают билинейную форму.

Можете рассказать это школьникам - похвастаться своими знаниями. Они оценят.

Oleg Zubelevich в сообщении #549966 писал(а):

так вот тензор инерции является, вообще говоря, неотрицательно определенным, он оказывается вырожденным если, например, твердое тело это тонкий стержень, а матрица кинитической энергии $g_{ij}$ в обобщенных координатах действительно всегда невырождена, это следует из определения обобщенных координат.

Посмотрите в учебнике определение понятия обобщённые координаты. Сколько степеней свободы имеет тонкий стержень?

-- Пн мар 19, 2012 15:49:35 --

Oleg Zubelevich в сообщении #549966 писал(а):

Я не ставлю себе задачей вас образовывать, просто, когда вы пишите глупость и я ее вижу, то отмечаю, чтоб другие тоже видели.

Не без лишней скромности. А теперь подумайте, что, возможно, глупости пишите Вы.

[SleepWalker]

Мне встретилась подобная задачка.
Пусть Лагранжиан будет таким же
$L=g_{\alpha\beta}\dot{q}^\alpha\dot{q}^\beta$
Только зависимости $g(q)$ нету.
Известно, что $g_{\alpha\beta}$ симметрична и не вырождена.
В учебнике есть решение, но разобраться в нём не могу.
Требуется найти Гамильтониан и ур-я Гамильтона.
Застряваю на первом шаге, когда определяют импульсы
$p_{\gamma}=\frac{\partial L(q,v)}{\partial v^\gamma}$
$p_{\gamma}=\frac{\partial L(q,v)}{\partial v^\gamma}=g_{\alpha\beta}v^\beta\delta_{\gamma\alpha}+g_{\alpha\beta}v^\alpha\delta_{\gamma\beta}=g_{\gamma\beta}v^\beta+g_{\alpha\gamma}v^\alpha$
Это всё в итоге равно 2$g_{\gamma{p}}v^p$
Проблема в том, что мне не ясно каким образом переходят к $p$?

[Bulinator]

SleepWalker в сообщении #550412 писал(а):

Проблема в том, что мне не ясно каким образом переходят к ?

В общем случае, как определяется $p$ знаете?

[srm]

SleepWalker домножьте выражение для импульса $p_{i}=2g_{il}\dot{q}^{l}$ слева и справа на обратную матрицу $g^{is}$ и разделите на 2 - получите обратное преобразование скорость - импульс.

Потом подставьте вместо скоростей соответствующие выражения.

[SleepWalker]

Bulinator, спасибо. Посмотрел на ситуацию справа налево и убедился, что по $p$ просто произвелось суммирование.
srm, вопрос был как получить вот этот индекс $l$, который у меня обозначен за $p$. Дальше как действовать вроде понятно.

[Ales]

SleepWalker в сообщении #550412 писал(а):

Проблема в том, что мне не ясно каким образом переходят к $p$?

Это потому, что переход к импульсу никак не мотивируется.
Никто не объясняет зачем переходить к импульсу.

Для меня вся эта наука прояснилась только тогда, когда я выкинул время.
Попробуйте убрать время из механики и гамильтонова механика станет простой и понятной.

$\int pdq \to extr$ при условии $H(q,p)=const$.

Случай, когда энергия зависит от времени можно оставить на потом, когда все понятно.

-- Вт мар 20, 2012 21:59:02 --

Время не физично и относительно.
А импульс - физическая величина.

[srm]

Ales в сообщении #550531 писал(а):

Это потому, что переход к импульсу никак не мотивируется.
Никто не объясняет зачем переходить к импульсу.

Насколько я понимаю, Лагранжев и Гамильтонов формализм - равносильные методы. В одних задачах удобнее записать гамильтониан системы (особенно, когда он совпадает с полной энергией), в других - лагранжиан. Кроме того, уравнения Гамильтона представляют собой СДУ в форме Коши. Тоже иногда удобно.

Ales в сообщении #550531 писал(а):

Для меня вся эта наука прояснилась только тогда, когда я выкинул время.
Попробуйте убрать время из механики и гамильтонова механика станет простой и понятной.

Я не понимаю при чём здесь время.

[Munin]

srm в сообщении #550722 писал(а):

Насколько я понимаю, Лагранжев и Гамильтонов формализм - равносильные методы.

Во многих задачах равносильные. Где-то нет, но это лежит на периферии, и многие физики в этом толком не разбираются. Я не разбираюсь.

[Bulinator]

srm в сообщении #550722 писал(а):

Насколько я понимаю, Лагранжев и Гамильтонов формализм - равносильные методы.

Не совсем. Гамильтонова формулировка механических систем более общая. Не для всякого Гамильтониана существует Лагранжиан. Зато обратное утверждение верно(с какими-то оговорками).
С другой стороны, Лагранжева формулировка позволяет обобщение на полевой случай, тогда как в Гамильтоновой формулировке описание поля если даже и возможно, то очень искусственно.

[Oleg Zubelevich]

Ales в сообщении #550531 писал(а):

Для меня вся эта наука прояснилась только тогда, когда я выкинул время.

из всякой неавтономной гамильтоновой системы можно сделать автономную, и почти всегда наоборот (с понижением порядка). Я Вам даже по секрету скажу: из всякой системы обыкновенных дифуров можно сделать гамильтонову систему

[Ales]

Oleg Zubelevich в сообщении #550863 писал(а):

Ales в сообщении #550531 писал(а):

Для меня вся эта наука прояснилась только тогда, когда я выкинул время.

из всякой неавтономной гамильтоновой системы можно сделать автономную, и почти всегда наоборот (с понижением порядка). Я Вам даже по секрету скажу: из всякой системы обыкновенных дифуров можно сделать гамильтонову систему

Типа $H(q,p)=p_1 \cdot v_1(q) + ... + p_n \cdot v_n(q)$.
Или есть другой какой то способ?

От этого мало пользы, хотя и интересно. Не знал про это раньше.

-- Ср мар 21, 2012 21:24:38 --

Получается, что изучать гамильтоновы системы вообще - бессмысленное занятие.
Интересно изучать реальные гамильтоновы системы,
то есть те, которые описывают возможные физические процессы.
Например движение N притягивающихся тел,
или какую-нибудь штуковину на пружинах.

В некоторых координатах $H(q,p) = p^2 + U(q)$.
Можно ли к такому виду привести или нет?

[Oleg Zubelevich]

Ales в сообщении #550929 писал(а):

От этого мало пользы

пользы много

Ales в сообщении #550929 писал(а):

В некоторых координатах $H(q,p) = p^2 + U(q)$.
Можно ли к такому виду привести или нет?

не понял вопрос

[Ales]

Насколько универсальны системы с энергией вида $H(q,p) = p^2 + U(q)$?
Можно ли любую систему каноническим преобразованием привести к виду $H(q,p) = p^2 + U(q)$?

[Oleg Zubelevich]

Ales в сообщении #551262 писал(а):

Можно ли любую систему каноническим преобразованием привести к виду $H(q,p) = p^2 + U(q)$?

вообще говоря, нет. Систему с гамильтонианом $H=p^3$ на множестве содержащем $p=0$ не приведете.
В окрестности неособой точки гамильтонова векторного поля можно привести , последнее следует из теоремы о выпрямлении векторного поля post535364.html#p535364