А почему не для всякого?
Я думаю, что это, например, потому, что Лагранжиан всегда задан на касательном расслоении какого-то многообразия
![$L:TM\to \mathbb{R}$ $L:TM\to \mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/0/3f085be494446df4903a18abe4ccfb6882.png)
и соответствующий ему Гамильтониан будет определен на кокасательном расслоении
![$H:T*M\to \mathbb{R}$ $H:T*M\to \mathbb{R}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/1/0a102699a9bf4fd6f8eda1d48e1d667382.png)
. Гамильтонову систему же можно определить на более общем- симплектическом многообразии
![$(M,\omega^{(2)})$ $(M,\omega^{(2)})$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/e/f2edc967620f6018da84278bc6cadb3682.png)
, которое, в частности, даже может быть компактным(в отличие от кокасательного расслоения, которое всегда некомпактно).
Я знаю одну такую систему, с применением в высокой науке. Берем
![$S^2$ $S^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/a/89addb8e953cb14c01e0f8378ee046b882.png)
с Римановыми координатами
![$z=\frac{q_1+\imath q_2}{1+q_3}$ $z=\frac{q_1+\imath q_2}{1+q_3}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/5/9c58c59935668481afd2832a1676ced782.png)
(
![$q_1^2+q_2^2+q_3^2=1$ $q_1^2+q_2^2+q_3^2=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/d/f9dda93fa0921ba93d884bd40ec6c24882.png)
)и определяем скобку Пуассона(обратную симплектическую 2-форму)
![$\{z,\bar z\}=(\text{коэффициент типа 1/2})(1+z\bar z)^2$ $\{z,\bar z\}=(\text{коэффициент типа 1/2})(1+z\bar z)^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/e/7aeb756600c9e54c81310d900acf149182.png)
.
Можно записать Гамильтониан
![$H=\frac{1}{2}\left(p^2+\frac{s^2}{r^2}\right)$ $H=\frac{1}{2}\left(p^2+\frac{s^2}{r^2}\right)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/c/e7c03434fdc6aae0103b5a3a1f79a20482.png)
и скобки Пуассона
![$\mu,\nu=1,\ldots,5,\quad i=1,\ldots,3$ $\mu,\nu=1,\ldots,5,\quad i=1,\ldots,3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/3/e73f966148774230e411ae46a7991af782.png)
.
Тут
тензор ЭМ поля монополя Янга, вектор-потенциал которого имеет вид
![$A_\mu^i=\frac{\eta^i_{\mu\nu}x_\mu}{r(r+x_5)}$ $A_\mu^i=\frac{\eta^i_{\mu\nu}x_\mu}{r(r+x_5)}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/1/201d86beb9c22b88e7d17c3fd5331bca82.png)
(
![$\eta^i_{\mu\nu}$ $\eta^i_{\mu\nu}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/a/cda1e3b4764f7b1e14ef35857d73321782.png)
-символ т'Хофта, а
![$r^2=\delta^{ij}x_ix_j$ $r^2=\delta^{ij}x_ix_j$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/d/abde35225d44ba07740ac1f674e4400782.png)
)
![$h_2+\imath{h_1}=\frac{2z}{1+z\bar z},\quad h_3=\frac{1-z\bar z}{1+z\bar z}$ $h_2+\imath{h_1}=\frac{2z}{1+z\bar z},\quad h_3=\frac{1-z\bar z}{1+z\bar z}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/e/6ae2194af4085beb0b4cff91194a426e82.png)
(с точностью до каких-то коэффициентов.)
Можно посчитать, что
![$\{h_i,h_j\}=\varepsilon_{ijk}h_k$ $\{h_i,h_j\}=\varepsilon_{ijk}h_k$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/7/4c7a2073b563468683d5d3c93c72752d82.png)
Над этой системой как-то колдуют(компактифицируют и еще чегой-то, потом квантуют и получают изоспин).
Так вот, хоть и локально, вы всегда можете нарисовать Лагранжиан для такой системы, глобально у Вас ничего не получится по уазанной выше причине(компактность- некомпактность).