2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел и интеграл
Сообщение27.03.2012, 07:58 


24/03/12
76
1. Вычислить $\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{1}{x^6}\int\limits_1^{x^2} \sqrt{1+t^4}\,dx.$

(Оффтоп)

$\sqrt{1+t^4}\sim t^2,\,t\to +\infty$
Ответ: $\frac{1}{3}$
Справедливо?

2. Вычислить $\int x(x-1)(x-2)...(x-2006)\,dx$

(Оффтоп)

Если ввести замену $x-1003=y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение27.03.2012, 10:05 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
1. Справедливо. Если надо быстро угадать ответ. И если интегрируется по переменной $t$. Если как у вас записано, то ответ $0$. Для строгого решения я бы предпочел оценку сверху и снизу
$\int\limits_1^{x^2} t^2\,dt < \int\limits_1^{x^2} \sqrt{1+t^4}\,dt < \int\limits_1^{x^2} 1+t^2\,dt$

-- Вт мар 27, 2012 11:17:37 --

Цитата:
Если как у вас записано, то ответ $0$

Хотя нет, запись вообще не корректна. $x$ меняется от 1 до $x^2$ - вряд ли это имеет вообще смысл

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение27.03.2012, 10:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Cash в сообщении #552565 писал(а):
Для строгого решения я бы предпочел оценку сверху и снизу
$\int\limits_1^{x^2} t^2\,dt < \int\limits_1^{x^2} \sqrt{1+t^4}\,dt < \int\limits_1^{x^2} 1+t^2\,dt$

Проще заметить, что $\int\limits_1^{+\infty}\left(\sqrt{1+t^4}-t^2\right)dt$ тупо сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение27.03.2012, 13:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
проще Лопиталем

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение27.03.2012, 15:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Arcanine в сообщении #552551 писал(а):
. Вычислить $\int x(x-1)(x-2)...(x-2006)\,dx$

Вы пределы интегрирования не забыли подставить от 0 до 2006? Тогда и Ваша замена прокатывает ну и ответ 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение27.03.2012, 15:18 


24/03/12
76
xmaister да я вот тоже думал. Скорее всего опечатка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение27.03.2012, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск

(Оффтоп)

Посмотрел в оригинальный текст. Там эти пределы проставлены. Это с Московской олимпиады 2006 года

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение27.03.2012, 15:25 


24/03/12
76

(Оффтоп)

xmaister ну вот, другое дело. :-) В моем источнике пределы не прописаны.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group