Предел и интеграл

[Arcanine]

1. Вычислить $\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{1}{x^6}\int\limits_1^{x^2} \sqrt{1+t^4}\,dx.$

(Оффтоп)

$\sqrt{1+t^4}\sim t^2,\,t\to +\infty$
Ответ: $\frac{1}{3}$
Справедливо?

2. Вычислить $\int x(x-1)(x-2)...(x-2006)\,dx$

(Оффтоп)

Если ввести замену $x-1003=y$?

[Cash]

1. Справедливо. Если надо быстро угадать ответ. И если интегрируется по переменной $t$. Если как у вас записано, то ответ $0$. Для строгого решения я бы предпочел оценку сверху и снизу
$\int\limits_1^{x^2} t^2\,dt < \int\limits_1^{x^2} \sqrt{1+t^4}\,dt < \int\limits_1^{x^2} 1+t^2\,dt$

-- Вт мар 27, 2012 11:17:37 --

Цитата:

Если как у вас записано, то ответ $0$

Хотя нет, запись вообще не корректна. $x$ меняется от 1 до $x^2$ - вряд ли это имеет вообще смысл

[ewert]

Cash в сообщении #552565 писал(а):

Для строгого решения я бы предпочел оценку сверху и снизу
$\int\limits_1^{x^2} t^2\,dt < \int\limits_1^{x^2} \sqrt{1+t^4}\,dt < \int\limits_1^{x^2} 1+t^2\,dt$

Проще заметить, что $\int\limits_1^{+\infty}\left(\sqrt{1+t^4}-t^2\right)dt$ тупо сходится.

[alcoholist]

проще Лопиталем

[xmaister]

Arcanine в сообщении #552551 писал(а):

. Вычислить $\int x(x-1)(x-2)...(x-2006)\,dx$

Вы пределы интегрирования не забыли подставить от 0 до 2006? Тогда и Ваша замена прокатывает ну и ответ 0.

[Arcanine]

xmaister да я вот тоже думал. Скорее всего опечатка.

[xmaister]

(Оффтоп)

Посмотрел в оригинальный текст. Там эти пределы проставлены. Это с Московской олимпиады 2006 года

[Arcanine]

(Оффтоп)

xmaister ну вот, другое дело. В моем источнике пределы не прописаны.