2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел и интеграл
Сообщение27.03.2012, 07:58 


24/03/12
76
1. Вычислить $\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{1}{x^6}\int\limits_1^{x^2} \sqrt{1+t^4}\,dx.$

(Оффтоп)

$\sqrt{1+t^4}\sim t^2,\,t\to +\infty$
Ответ: $\frac{1}{3}$
Справедливо?

2. Вычислить $\int x(x-1)(x-2)...(x-2006)\,dx$

(Оффтоп)

Если ввести замену $x-1003=y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение27.03.2012, 10:05 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
1. Справедливо. Если надо быстро угадать ответ. И если интегрируется по переменной $t$. Если как у вас записано, то ответ $0$. Для строгого решения я бы предпочел оценку сверху и снизу
$\int\limits_1^{x^2} t^2\,dt < \int\limits_1^{x^2} \sqrt{1+t^4}\,dt < \int\limits_1^{x^2} 1+t^2\,dt$

-- Вт мар 27, 2012 11:17:37 --

Цитата:
Если как у вас записано, то ответ $0$

Хотя нет, запись вообще не корректна. $x$ меняется от 1 до $x^2$ - вряд ли это имеет вообще смысл

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение27.03.2012, 10:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Cash в сообщении #552565 писал(а):
Для строгого решения я бы предпочел оценку сверху и снизу
$\int\limits_1^{x^2} t^2\,dt < \int\limits_1^{x^2} \sqrt{1+t^4}\,dt < \int\limits_1^{x^2} 1+t^2\,dt$

Проще заметить, что $\int\limits_1^{+\infty}\left(\sqrt{1+t^4}-t^2\right)dt$ тупо сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение27.03.2012, 13:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
проще Лопиталем

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение27.03.2012, 15:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Arcanine в сообщении #552551 писал(а):
. Вычислить $\int x(x-1)(x-2)...(x-2006)\,dx$

Вы пределы интегрирования не забыли подставить от 0 до 2006? Тогда и Ваша замена прокатывает ну и ответ 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение27.03.2012, 15:18 


24/03/12
76
xmaister да я вот тоже думал. Скорее всего опечатка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение27.03.2012, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск

(Оффтоп)

Посмотрел в оригинальный текст. Там эти пределы проставлены. Это с Московской олимпиады 2006 года

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение27.03.2012, 15:25 


24/03/12
76

(Оффтоп)

xmaister ну вот, другое дело. :-) В моем источнике пределы не прописаны.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group