сферическая волна в принципе Гюйгенса-Френеля

[ewert]

(Оффтоп)

mclaudt в сообщении #551892 писал(а):

Зато математики нам на урматах рассказывали про функцию Грина как про формального крокодила с догматическим скачком производной. Тоска.

Вообще-то математики должны рассказывать про функцию Грина в первую очередь как про ядро обратного оператора (при условии, что этот оператор интегральный). А что там ещё и скачок производной -- это уже лишь эвристические соображения как раз физического характера (сама по себе матфизика обобщённых функций формально не требует). На эвристическом же уровне очевидно, что ядро обратного оператора и отклик на дельта-функцию -- это одно и то же.

[obar]

$$ \mathbf{E}_P=\int_S\mathbf{E}_S\frac{e^{ikR}}{R}\,dS. $$

Рассмотрим два "скользких" момента в принципе Гюйгенса:

1) независимость интеграла от выбора поверхности интегрирования;

2) условие $\mathrm{div}\mathbf{E}=0$.

1) Пусть $\mathbf{n}(\mathbf{r})$ -- единичная нормаль к поверхности $S$ в т. $\mathbf{r}\in S$. Определим вариацию этой поверхности как

$$ S'(\mathbf{r}'):\quad \mathbf{r}'=\mathbf{r}+\mathbf{n}\delta h\,, $$

где $\delta h(\mathbf{r})$ -- произвольная вариация, равная нулю на границе $S$. Тогда для вариации элемента площади получим

$$ \delta(dS)\equiv dS'-dS=-2H\delta hdS\,, $$

где $H=\frac12(k_1+k_2)$ -- средняя кривизна поверхности в данной точке.

Условие независимости $\mathbf{E}_P$ от поверхности интегрирования

$$ \delta\left(\int\mathbf{E}(S)\frac{e^{ikR}}{R}\,dS\right)= \int\left(\delta\mathbf{E}+\mathbf{E}\Big((ikR-1)\frac{\delta R}{R}+\frac{\delta(dS)}{dS}\Big)\right)\frac{e^{ikR}}{R}\,dS=0\,. $$

Тут $\delta\mathbf{E}=\mathbf{E}(\mathbf{r}')-\mathbf{E}(\mathbf{r})$. Т.к. $\delta R=-\frac{\delta h}{R}\,(\mathbf{R}\mathbf{n})$ то получаем

$$ \int_S\left(\delta\mathbf{E}-\mathbf{E}\Big((ikR-1)\frac{(\mathbf{R}\mathbf{n})}{R^2} +2H\Big)\delta h\right)\frac{e^{ikR}}{R}\,dS=0\,.\eqno(1) $$

2) Условие $\mathrm{div}\mathbf{E}_P=0$ дает

$$ \int(\mathbf{E}\mathbf{R})(ikR-1)\frac{e^{ikR}}{R^3}\,dS=0\,.\eqno(2) $$

3) Условие равенства потоков через площадки $dS$ и $dS'$

$$ (\delta\mathbf{E}\mathbf{n})=2H(\mathbf{E}\mathbf{n})\delta h\,.\eqno(3) $$

Разберем полученные условия. Поскольку (1) должно выполняться при любых $\delta h$, то

$$ \delta\mathbf{E}=\mathbf{E}\Big((ikR-1)\frac{(\mathbf{R}\mathbf{n})}{R^2} +2H\Big)\delta h\,.\eqno(4) $$

Это условие непротиворечиво с (3), если

$$ (\mathbf{E}\mathbf{n})=0\,, $$

т.е. $S$ -- поверхность постоянной фазы. Вблизи такой поверхности поле $\mathbf{E}$ можно локально рассматривать как сферическую волну $E\sim\frac{e^{ikr}}{R_0^2}$ с $R_0^{-1}=-H$. Для такой волны

$$ \delta\mathbf{E}=\mathbf{E}\Big(2H+ik\Big)\delta h\,.\eqno(5) $$

Первое слагаемое обусловлено изменением амплитуды, второе -- фазы. Условие (5) согласуется с (4) если

$$ \frac{(\mathbf{R}\mathbf{n})}{R}\approx1\quad\mbox{и}\quad kR\gg1\,.\eqno(6) $$

Первое условие в (6) означает, что поверхность постоянной фазы должна быть "достаточно плоской", т.е. $\mathbf{R}\approx R\mathbf{n}$. В этом случае требование (2) будет выполнено, ввиду условия $(\mathbf{E}\mathbf{n})=0$.

Итак: для согласия принципа Гюйгенса с уравнениями Максвелла нужно выполнение условий (6).
Требование независимости вычислений от поверхности $S$ выполняется, если поверхность интегрирования близка к поверхности постоянной фазы.

[romka_pomka]

Заранее извиняюсь за возможно глупый вопрос (пока добрался только до вариации интеграла): почему пределы интегрирования не надо варьировать?

[obar]

Интеграл берется по повехности $S$, границы области не меняются, изменяется лишь элемет $dS$ (а он варьируется).

[Munin]

ewert в сообщении #552007 писал(а):

сама по себе матфизика обобщённых функций формально не требует

Ну как же, а ядро прямого оператора у вас не обобщённая функция? А решения при разрывных н.у./г.у.?

obar в сообщении #552028 писал(а):

Рассмотрим два "скользких" момента в принципе Гюйгенса: 1) независимость интеграла от выбора поверхности интегрирования;

А по-моему, такого условия и нет, то есть поверхность обязательно должна браться как поверхность постоянной фазы, и только.

Да, что-то это на функцию Грина в чистом виде не очень тянет. Скорее, на её упрощение (берём ф. Грина для волнового уравнения в 4D, обнаруживаем, что она не нуль точно на световом конусе, и накладываем условие брать интеграл по поверхности постоянной фазы).

Или, дело можно спасти, добавив под интеграл множитель $\exp i\times$ фаза в точке поверхности интегрирования. Но вообще, а зачем? А то там ещё хорошо бы и амплитуду добавить, и вообще вся красота затуманится...

[obar]

Munin в сообщении #552191 писал(а):

А по-моему, такого условия и нет

ЛЛ-2, стр. 198:
"Этот интеграл в рассматриваемом приближении не зависит, конечно, от формы этой поверхности."

[romka_pomka]

obar в сообщении #552028 писал(а):

2) Условие $\operatorname{div}\mathbf{E}_P=0$ дает

$$ \int(\mathbf{E}\mathbf{R})(ikR-1)\frac{e^{ikR}}{R^3}\,dS=0\,.\eqno(2) $$

Это условие дает:
- или $ikR-1 = 0$, где $k, R$ - вещественные, мне кажется такого ($i=\frac {1}{kR}$) не бывает, но именно оно почему то втыкается в (1) уже в виде нуля, чтобы получить (3) (я правильно понимаю? или надо брать вещественную часть?: $\cos(kR) + kR \sin(kR) = 0 \Rightarrow \tg(kR) = - \frac{1}{kR}$)
- или $(\mathbf{E}\mathbf{R}) = 0$ что означает плоскость (из точек $P$) перпендикулярную $\mathbf{E}$

[Munin]

obar
Чё-то я отстал от темы.

[romka_pomka]

Munin в сообщении #552477 писал(а):

Чё-то я отстал от темы.

Прошу извинить, я не привел выводов.

Из $\operatorname{div}\mathbf{E}_P=0$ (в совокупности с постом obar'а) следует, что точка наблюдения $P$ должна лежать:
- в плоскости проходящей через элемент $dS$ и перпендикулярной полю $E$,
- или поверхность интегрирования - часть сферы с центром в $P$, радиус которой удовлетворяет уравнению $\tg(kR) = - \frac{1}{kR}$ (рис), с бесконечным дискретным множеством решений (либо некоторые $dS$ принадлежат произвольно выбранным таким сферам, тогда поверхность интегрирования разрывна).

Если мы предполагаем, что поле $d\mathbf{E}_P$ в точке $P$ от каждого элемента $dS$ поверхности интегрирования $S$ имеет вид: $\mathbf{E}_S\frac{e^{ikR}}{R}dS$, где $k = \operatorname{const}$ и поверхность интегрирования - часть сферы определенного радиуса, то:
1. как можно говорить о варьировании этого радиуса при соблюдении условия нулевой дивергенции? Ведь мы не можем непрерывно (удовлетворяя нулевой дивергенции) менять радиус
2. как можно говорить о произвольности поверхности интегрирования (когда для каждой точки $P$ мы должны выбирать вполне конкретный вид поверхности для соблюдения условия нулевой дивергенции)?
=================
Предлагаю не обращать внимания на дивергенцию и вообще ничего не варьировать. Пусть остается как было. Работает же - интенсивность определяется отлично.

[Munin]

Попробую разобраться с начала.

1. У нас есть уравнения Максвелла, для потенциалов или для напряжённостей. Поля, которые им удовлетворяют - точные.

2. Из уравнений Максвелла выводятся волновые уравнения, тоже для потенциалов или для напряжённостей. Выводятся точно. Для потенциалов они получаются независимые (по всем четырём компонентам бегут какие угодно волны), для напряжённостей - зависимые (шесть компонентов - нужны связи), связи могут быть взяты из уравнений Максвелла. И тогда мы не можем по одной компоненте судить о направлении итогового вектора, или можем? Пока не наложены связи, у нас нет гарантии, что они выполнятся, то есть дивергенции будут равны нулю etc.

3. Замечаем, что в оптике наши поля изменяются по времени как $\exp(-i\omega t),$ выбрасываем время, и переходим от волновых к уравнениям Гемльгольца. Структура (4 уравнения для потенциалов) = (6 уравнений плюс связи для напряжённостей) должна, по идее, сохраниться. Преобразования до сих пор точные.

4. Решаем всё методом функции Грина. "Всё" - это четыре варианта систем уравнений, для потенциалов и для напряжённостей, со временем или без времени.

4.1. Для волновых уравнений (со временем) функция Грина лежит на световом конусе, так что интеграл берётся по световому конусу от конечной точки (в которой ищем поле). Начальная точка должна бегать по начальным или граничным условиям (источников внутри области решения у нас нет).


4.1.1. Если она бегает по начальным условиям, то поверхность интегрирования должна быть на постоянном оптическом расстоянии от конечной точки (вогнутая сфера), а источники должны быть умножены на фазу волны в начальной точке. И на интенсивность в начальной точке.

4.1.2. Если начальная точка бегает по граничным условиям, то поверхность интегрирования может быть какой угодно, но временная координата начальной точки будет разной, так что источники тоже умножаются на фазу волны в начальной точке. Поверхность интегрирования можно подобрать так, чтобы на интенсивность можно было не умножать (выпуклая сфера, расходящаяся от источника света).

4.2. Для уравнений Гельмгольца (без времени) начальная точка бегает по граничным условиям. И дальше всё то же самое, как и в п. 4.1.2 - источники должны умножаться на фазу в начальной точке, с интенсивностью можно по-разному. Но. В самой функции Грина появляется свой фазовый множитель - $\exp(ikR),$ где $R$ - расстояние между начальной и конечной точками.

И все-все-все преобразования до сих пор точные.

А теперь скажите, господа, на каком шаге я отклонился от вывода принципа Гюйгенса-Френеля?

[romka_pomka]

Munin в сообщении #552734 писал(а):

А теперь скажите, господа, на каком шаге я отклонился от вывода принципа Гюйгенса-Френеля?

Может скажу глупость (надо разобраться с ф. Грина, чтобы как-то увереннее себя чувствовать), но не могу молчать: и волновое уравнение и уравнение Гельмгольца допускают решения, не удовлетворяющие уравнениям Максвелла. И еще не понял, почему потенциалов - 4 штуки (если речь идет о скалярном потенциале электрического поля и вектор-потенциале магнитного поля, то это неверно: электрическое поле может быть вихревым, и работа его по замкнутому контуру тогда не нулевая).

[Munin]

romka_pomka в сообщении #552781 писал(а):

и волновое уравнение и уравнение Гельмгольца допускают решения, не удовлетворяющие уравнениям Максвелла.

Это какие же? Они из них получены.

romka_pomka в сообщении #552781 писал(а):

И еще не понял, почему потенциалов - 4 штуки (если речь идет о скалярном потенциале электрического поля и вектор-потенциале магнитного поля, то это неверно: электрическое поле может быть вихревым, и работа его по замкнутому контуру тогда не нулевая).

Речь идёт о скалярном и векторном потенциалах, но они не разделены по полям, как вы написали. Вместо этого,

$$\mathbf{E}=-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\operatorname{grad}\varphi$$

$$\mathbf{H}=\operatorname{rot}\mathbf{A}$$

Любые электромагнитные поля, вихревые или нет, если они удовлетворяют уравнениям Максвелла, могут быть представлены в таком виде. Более того, неоднозначно, с точностью до калибровочного произвола, то есть возможно применить к потенциалам преобразование

$$\mathbf{A}\to\mathbf{A}+\operatorname{grad}f$$

$$\varphi\to\varphi-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial f}{\partial t},$$

где $f$ - произвольная функция, и при этом поля (напряжённости) не изменятся.

Физический смысл потенциала $\varphi$ при этом перестаёт быть работой по контуру, и остаётся только математический. Правда, в квантовой теории есть ещё эффект Ааронова-Бома, который возвращает потенциалу физический смысл, правда, в другом виде, но я не хочу в это углубляться.

[romka_pomka]

Munin в сообщении #552820 писал(а):

Речь идёт о скалярном и векторном потенциалах, но они не разделены по полям, как вы написали.

Понял, спасибо.

Munin в сообщении #552820 писал(а):

romka_pomka в сообщении #552781 писал(а):

и волновое уравнение и уравнение Гельмгольца допускают решения, не удовлетворяющие уравнениям Максвелла.

Это какие же? Они из них получены.

(мне нравится такая аналогия: уравнение $x = 1$ умножаем на $x$ и получаем уравнение с двумя корнями, один из которых, $x^* = 0$, не удовлетворяет первоначальному уравнению)
Как пример решения уравнения Гельмгольца - это обсуждаемая здесь сферическая волна. Она удовлетворяет уравнению (что показал obar), но она не удовлетворяет нулевой дивергенции. Дивергенция этой волны равна реальной части подынтегрального выражения в формуле (2) сообщения obar'а: $(\mathbf{E}\mathbf{R})(ikR-1)\frac{e^{ikR}}{R^3}$.

Хотел бы уточнить, что лапласиан от скалярной функции: $\Delta\varphi = \operatorname{div}\operatorname{grad}\varphi$ - это не то же самое, что лапласиан от вектор-функции: $ \Delta\mathbf{F} = \operatorname{grad} \operatorname{div} \mathbf{F} - \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{F}$, поэтому волновое уравнение на скалярную функцию из уравнения Максвелла может не получиться. В нашем случае мы предполагали что амплитудный вектор постоянен, меняется только скалярный множитель, поэтому так складно вышло. По хорошему из Максвелла получается мега-уравнение с оператором $\operatorname{rot} \operatorname{rot}$ и не очень ясно как получится 4 независимых скалярных волновых уравнения на потенциалы. Больше похоже, что получится система их трех дифференциальных уравнений, к которой мы должны будем присовокупить калибровку... Неужели может получиться 4 волновых уравнения?! Может действительно можно выбрать калибровку подходящую?

[Munin]

romka_pomka в сообщении #552917 писал(а):

Как пример решения уравнения Гельмгольца - это обсуждаемая здесь сферическая волна. Она удовлетворяет уравнению (что показал obar), но она не удовлетворяет нулевой дивергенции.

Вы про уравнение Гельмгольца для чего? Для потенциалов или для напряжённостей? Уравнение Гельмгольца - это просто общая запись $\Delta u+k^2u=0,$ а какое $u$ туда подставлять - вопрос отдельный. Я уже сказал, для потенциалов будет одна система (четыре уравнения Гельмгольца для компонент), для напряжённостей другая (шесть уравнений Гельмгольца для компонент), и на напряжённости дополнительно должны быть наложены связи. Эти связи, в частности, могут привести к тому, что начальные / граничные условия для уравнений Гельмгольца не смогут быть произвольными. А если всё это учесть - дивергенции должны стать нулевыми.

romka_pomka в сообщении #552917 писал(а):

Хотел бы уточнить, что лапласиан от скалярной функции: $\Delta\varphi = \operatorname{div}\operatorname{grad}\varphi$ - это не то же самое, что лапласиан от вектор-функции: $ \Delta\mathbf{F} = \operatorname{grad} \operatorname{div} \mathbf{F} - \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{F}$, поэтому волновое уравнение на скалярную функцию из уравнения Максвелла может не получиться.

Покомпонентно - это то же самое.

Вывод волнового уравнения для потенциалов электромагнитного поля показан в ЛЛ-2 § 46. Спасибо, что заставили открыть меня этот параграф. Потому что я упустил важный момент: волновые уравнения для потенциалов расцепляются только при наложении конкретной калибровки (лоренцевой).

Для напряжённостей - Ахманов, Никитин "Физическая оптика" лекция 1, с. 16.

[romka_pomka]

Munin в сообщении #553044 писал(а):

Вы про уравнение Гельмгольца для чего? Для потенциалов или для напряжённостей?

Для напряженностей.

Munin в сообщении #553044 писал(а):

Покомпонентно - это то же самое.

лишь в декартовой системе координат. Когда поля (понял!: я называл полями напряженности) пишут в других системах координат, то так просто не получается (собственно, как и с выражением оператора например дивергенции). Придется или переходить в декартову (что делал я, по спортивному, с ошибками, невзирая на нечувствительность $\operatorname{div}\operatorname{grad}$ к системе координат), или мучиться в родной. Имелось ввиду всего лишь, что покомпонентно $\mathbf{E}_{x,y,z} \neq \mathbf{E}_{r,\theta,\alpha}$, несмотря на то, что вектор один и тот же. Поэтому, например в сферической системе координат, такая удобная штука, как покомпонетное взятие скалярных операторов Лапласа - не получится.

Munin в сообщении #553044 писал(а):

Вывод волнового уравнения для потенциалов электромагнитного поля показан в ЛЛ-2 § 46. Спасибо, что заставили открыть меня этот параграф. Потому что я упустил важный момент: волновые уравнения для потенциалов расцепляются только при наложении конкретной калибровки (лоренцевой).

Да уж... Я этого и не знал. "О, сколько нам открытий чудных...". Спасибо (это, кажется, пригодится).
Но не равна нулю дивергенция напряженности электрического поля $\mathbf{E} = \mathbf{E}_0 \varphi$, где $\varphi: \frac 1 r \frac{\partial^2}{\partial r^2}(r \varphi) + \omega^2\varphi = 0$ (и где мы выбрасываем, кстати, одно из решений: сходящуюся волну). Из-за этого "неравенства нулю" не получается такую "сферическую напряженность" использовать в точном нахождении напряженности в точке наблюдения (в соответствии с ф.Грина, которую я кажется усвоил, спасибо) - вот это меня и расстраивало когда начинал ветку (а сейчас уже даже и не знаю, пойду еще ЛЛ почитаю, утешусь).