Лаплас с криволинейными граничными условиями

[_AliEn_]

Доброго времени суток.
Ищу разумный численный метод решения уравнения Лапласа с кривыми граничными условиями. Чтобы задача стала яснее, начну с физической интерпретации.
Имеется "плоский" конденсатор с кривыми обкладками (см. рис), на которых задан постоянный потенциал. Необходимо найти распределение потенциала по всей сетке.

Математически я ставлю задачу так
$\Delta\Phi = 0$
$\left. \Phi\right|_L = \Phi_1$
$\left. \Phi\right|_R = \Phi_2$
Сначала была предпринята попытка решить задачу методом крупных частиц: с одинаковой плотностью заряды расставляются на место профиля обкладок, а затем через Кулон по принципу суперпозиции находится распределение потенциала на сетке. Затем в CST Studio в электростатической решалке были смоделированы "железяки" с такой же конфигурацией и получено распределение потенциала. Когда картинки потенциалов от обоих методов наложили, получилось определенное расхождение. Интуиция подсказывает, что сама идея крупных частиц где-то врет.
Привожу результаты расчетов в среде MATLAB (см. рис), на рисунке слева конфигурация электродов (профиль тела вращения), а справа распределение потенциала на оси системы. Также дана модель в CST Studio.


Красная кривая представляет собою две гармоники $U_0\cos(kx) + U_1\cos(3kx), U_1 = 0.1U_0$, а бирюзовая (посчитанная в CST) дает те же гармоники, только $U_1 = -U_0/24$. Как видите, разница большая.

Что вы думаете по этому поводу? Какие методы можно применить? В чем ошибка моего метода?

[Munin]

Задачу недопоставили. Нету гранусловий сверху и снизу.

[AKM]

_AliEn_ в сообщении #550439 писал(а):

U0cos(kx) + U1cos(3kx), U1 = 0.1U0, а бирюзовая (посчитанная в CST) дает две гармоники U0cos(kx) + U1cos(3kx), U1 = -U0/24.

Извольте исправить написание формул в соответствии с Правилами.
Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Тема перемещена из "Математикаь(Общие вопросы)" в карантин. Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

[_AliEn_]

Munin в сообщении #550532 писал(а):

Задачу недопоставили. Нету гранусловий сверху и снизу.

Боюсь ошибиться с выражением, но сверху и снизу граничные условия открытые. Можно наложить еще одно условие на искомую функцию: $\Phi(r)\to 0, r\rightarrow \propto$.

[Munin]

Тогда обкладки должны быть бесконечными, или ещё гранусловий не хватает, с боков где обкладки кончаются.

[ewert]

_AliEn_ в сообщении #550439 писал(а):

с одинаковой плотностью заряды расставляются на место профиля обкладок,

с какой стати с одинаковой-то

[Munin]

анзац. Правда, хреновый, видимо.

[_AliEn_]

Ваши вопросы заставили меня всерьез задуматься о постановке задачи..

ewert в сообщении #551234 писал(а):

с какой стати с одинаковой-то

Я подумал, что если плотность заряда по поверхности не будет одинаковой, то будут диффузионные токи ($j = -D\operatorname{grad}(\rho)$) по поверхности, которых быть не может.

[svv]

_AliEn_ писал(а):

ewert в сообщении #551234 писал(а):

с какой стати с одинаковой-то

Я подумал, что если плотность заряда по поверхности не будет одинаковой, то будут диффузионные токи ($j = -D\operatorname{grad}(\rho)$) по поверхности, которых быть не может.

Поверхностные токи будут тогда, когда на поверхности тангенциальная составляющая электрического поля будет ненулевой. А она, в свою очередь, появится тогда, когда будет различным потенциал в разных точках поверхности. Значит, поверхность обкладки должна быть эквипотенциальной. Но это совсем не то, что постоянство плотности заряда.

При постоянной плотности заряда не будет постоянным потенциал на поверхности. Постоянный потенциал будет при непостоянной плотности заряда.

[Vince Diesel]

Ставить заряды на кривые (если они аналитические) не самая лучшая идея. Потому что решение будет тоже аналитическим (в некоторой окрестности границы), а поле нескольких зарядов нет. Можно так: сдвинуть кривые вверх/вниз наружу и на них уже располагать заряды. Это называется метод фиктивных зарядов. Не очень важно, будут ли они расставлены равномерно или не совсем. Главное, чтобы достаточно близко к основной кривой и достаточно много. Выбирая тогда столько точек на исходных контурах , сколько взято зарядов, и приравнивая в них потенциалы, получим линейную систему уравнений на неизвестные величины зарядов.

[Munin]

_AliEn_ в сообщении #551774 писал(а):

Ваши вопросы заставили меня всерьез задуматься о постановке задачи..

Лучше поздно, чем никогда.

[_AliEn_]

Vince Diesel в сообщении #551786 писал(а):

Ставить заряды на кривые (если они аналитические) не самая лучшая идея. Потому что решение будет тоже аналитическим (в некоторой окрестности границы), а поле нескольких зарядов нет. Можно так: сдвинуть кривые вверх/вниз наружу и на них уже располагать заряды. Это называется метод фиктивных зарядов. Не очень важно, будут ли они расставлены равномерно или не совсем. Главное, чтобы достаточно близко к основной кривой и достаточно много. Выбирая тогда столько точек на исходных контурах , сколько взято зарядов, и приравнивая в них потенциалы, получим линейную систему уравнений на неизвестные величины зарядов.

Я попробовал пойти этим путем, но расхождение с результатами CST Studio носят все тот же характер. Вот ход моих действий.
Чтобы вычислить фиктивные заряды, я решаю СЛАУ, которая имеет такой вид

$$ \begin{pmatrix} s_1_1 & s_1_2 & \cdots & s_1_N \\ s_2_1 & s_2_2 & \cdots & s_1_N \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ s_N_1 & s_N_2 & \cdots & s_N_N \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \\ \vdots \\ q_N \end{pmatrix} \quad = \quad \begin{pmatrix} \varphi_1 \\ \varphi_2 \\ \vdots \\ \varphi_N \end{pmatrix}, $$

где $s_i_j = 1/r_i_j, r_i_j - $ расстояние от j-го заряда до i-ой точки эквипотенциальной линии.
Заряды расставляются достаточно близко к эквипотенциалям, и достаточно плотно (50 точек на е.д.). "Достаточность" я определяю эмпирически: когда уменьшение шага (расстояния) уже не приводит к изменениям картины, я выбираю максимальное значение, при котором изменения перестали наблюдаться. Результаты расчета потенциала качественно не отличаются от тех, которые я привел в своем первом посте (вторая картинка).

[Vince Diesel]

Я не понял, что такое $U_0$ и $U_1$ и что иллюстрирюет пара красно-синей картинок. Полученное решение должно давать хорошее приближение в области между пластинами, а также далеко от них. в Вблизи концов кривых оно может быть плохим. И снаружи кривых тоже. Если речь идет об оси, то вседжолжно быть нормально. Возможно, стоит проверить, данные и пераметры CST.

ЗЫ Можно проверить потенциал на самих кривых. Если там отклонение от требуемого мало, то ответ верный.

[_AliEn_]

Vince Diesel
Я извиняюсь, но мне будет сложно объяснить, что именно иллюстрирует картинка с красной и синей штуками и смысл $U_0$ и $U_1$, так как это имеет отношение к ускорительной технике.. Я бы мог изложить свою задачу глобально, но я думаю это было бы мало кому интересно. Как только я реализовал метод, предложенный вами, у меня сразу появилось подозрение, что данные в CST заданы неверно (гранусловия). Тем не менее, спасибо за идею!

Вычисленные заряды дают требуемый потенциал на кривых с пренебрежительной ошибкой.

[Vince Diesel]

А какая размерность? Для плоского случая должно быть $\ln r_{ij}$, а не $1/r_{ij}$.