Намотка на барабан

[ewert]

К маленькому-маленькому шарику массы $m$ привязана нитка длины $L$, другой конец которой привязан к поверхности барабана радиуса $R$. Нитка рвётся при силе натяжения $T$. В начальный момент времени нить вытянута перпендикулярно поверхности барабана в точке крепления, и шарику придаётся скорость $v$ (перпендикулярно нитке, естественно). Через какое время нить порвётся?

(Всё происходит в горизонтальной плоскости.)

[obar]

Да вроде все просто. Скорость шарика постоянна (сила натяжения работы не совершает). Приравнивая центробежную силу к максимальной силе натяжения получаем

$$ l=\frac{mv^2}{T}\quad\Rightarrow\quad t=\frac{L^2-l^2}{2Rv}+\frac{\pi L}{2v}\quad (\mbox{if}\; l<L)\,. $$

Где подвох?

[ewert]

obar в сообщении #551692 писал(а):

Где подвох?

Нигде, просто всё это надо было посчитать (да и обосновать тоже). Впрочем, один маленький подвошец всё же есть: угадайте, что Вы забыли.

[obar]

В смысле -- шарик маленький-маленький, но не точечный. Значит есть еще кинетическая энергия шарика, связанная с его вращением относительно собственого центра. Если это учесть, то скорость ЦМ будет уменьшаться. Вы это имели ввиду?

[ewert]

obar в сообщении #551703 писал(а):

Вы это имели ввиду?

Нет, не это: если шарик маленький, то энергия его вращения пренебрежимо мала. Всё гораздо примитивнее.

[anik]

ewert в сообщении #551699 писал(а):

Нигде, просто всё это надо было посчитать (да и обосновать тоже).

Тот факт, что сила натяжения нити работы не совершает можно обосновать так: траектория шарика представляет собой эвольвенту, а кривая, по которой нить наматывается на барабан - эволюта. Известно, что касательная к эволюте есть нормаль к эвольвенте. Таким образом нить всегда перпендикулярна траектории, отсюда следует, что сила натяжения нити работы не совершает.

[GrinyA]

У меня получился ответ:
$t=\frac{L^2-l^2}{2vr} +\frac{\pi L}{2v}$

[ewert]

Ну правильно.

[obar]

ewert в сообщении #551699 писал(а):

Впрочем, один маленький подвошец всё же есть: угадайте, что Вы забыли.

Так что же я забыл?

[ewert]

obar в сообщении #551752 писал(а):

Так что же я забыл?

То, что потом исправили, но я этого исправления уже не заметил.