2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Намотка на барабан
Сообщение24.03.2012, 13:34 
К маленькому-маленькому шарику массы $m$ привязана нитка длины $L$, другой конец которой привязан к поверхности барабана радиуса $R$. Нитка рвётся при силе натяжения $T$. В начальный момент времени нить вытянута перпендикулярно поверхности барабана в точке крепления, и шарику придаётся скорость $v$ (перпендикулярно нитке, естественно). Через какое время нить порвётся?

(Всё происходит в горизонтальной плоскости.)

 
 
 
 Re: Намотка на барабан
Сообщение24.03.2012, 15:45 
Да вроде все просто. Скорость шарика постоянна (сила натяжения работы не совершает). Приравнивая центробежную силу к максимальной силе натяжения получаем
$$
l=\frac{mv^2}{T}\quad\Rightarrow\quad t=\frac{L^2-l^2}{2Rv}+\frac{\pi L}{2v}\quad (\mbox{if}\; l<L)\,.
$$
Где подвох?

 
 
 
 Re: Намотка на барабан
Сообщение24.03.2012, 16:28 
obar в сообщении #551692 писал(а):
Где подвох?

Нигде, просто всё это надо было посчитать (да и обосновать тоже). Впрочем, один маленький подвошец всё же есть: угадайте, что Вы забыли.

 
 
 
 Re: Намотка на барабан
Сообщение24.03.2012, 16:35 
В смысле -- шарик маленький-маленький, но не точечный. Значит есть еще кинетическая энергия шарика, связанная с его вращением относительно собственого центра. Если это учесть, то скорость ЦМ будет уменьшаться. Вы это имели ввиду?

 
 
 
 Re: Намотка на барабан
Сообщение24.03.2012, 16:41 
obar в сообщении #551703 писал(а):
Вы это имели ввиду?

Нет, не это: если шарик маленький, то энергия его вращения пренебрежимо мала. Всё гораздо примитивнее.

 
 
 
 Re: Намотка на барабан
Сообщение24.03.2012, 17:53 
ewert в сообщении #551699 писал(а):
Нигде, просто всё это надо было посчитать (да и обосновать тоже).
Тот факт, что сила натяжения нити работы не совершает можно обосновать так: траектория шарика представляет собой эвольвенту, а кривая, по которой нить наматывается на барабан - эволюта. Известно, что касательная к эволюте есть нормаль к эвольвенте. Таким образом нить всегда перпендикулярна траектории, отсюда следует, что сила натяжения нити работы не совершает.

 
 
 
 Re: Намотка на барабан
Сообщение24.03.2012, 19:03 
У меня получился ответ:
$t=\frac{L^2-l^2}{2vr} +\frac{\pi L}{2v}$

 
 
 
 Re: Намотка на барабан
Сообщение24.03.2012, 19:29 
Ну правильно.

 
 
 
 Re: Намотка на барабан
Сообщение24.03.2012, 19:34 
ewert в сообщении #551699 писал(а):
Впрочем, один маленький подвошец всё же есть: угадайте, что Вы забыли.

Так что же я забыл?

 
 
 
 Re: Намотка на барабан
Сообщение24.03.2012, 19:39 
obar в сообщении #551752 писал(а):
Так что же я забыл?

То, что потом исправили, но я этого исправления уже не заметил.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group