два прдставления функции Грина

[theambient]

Добрый!

Рассматриваем однородную задачу Неймана для уравнения Лапласа в прямоугольнике.

$$ \Delta u = 0, $$

$$ \left. \frac{\partial u}{\partial n}\right|_\Gamma = 0, $$

где $\Gamma = [0,a] \times [0,b]$.

Функция Грина имеет вид (см. [1, p. 159])

$$ G(x,x_0) = \frac{1}{2\pi}\log{ \frac{1}{|x-x_0|}} + v, $$

где $v$ - произвольная гармоническая функция.

С другой стороны ф. Грина представляется в виде (см. [1, p. 56])

$$ G(x,x_0) = \sum_{n=1}^{\inf}\frac{ v_n(x) v_n(x_0) }{\lambda_n} , $$

где $v_n, \lambda_n$ - с.ф. и с.з. задачи Штурма-Лиувиля для уравнения Лапласа

$$ \begin{eqnarray} \Delta u + \lambda u = 0,\\ \left.u\right|_\Gamma = 0. \end{eqnarray} $$

и имееют вид ([1, p. 62])

$$ v_{nm}(x) = \cos( \frac \pi a n )\cos(\frac \pi b m), n,m = 0\ldots \inf, $$

$$ \lambda_n = \left(\frac \pi a \right)^2 + \left(\frac \pi b \right)^2 $$

1) Мне непонятно, отуда берется сингулярность (разрыв) в разложении в ряд, как у логарифма, так как там бесконечное число раз дифференцируемые функции.

2) построил и то и то, получил следующие картинки (сечение $y=x, x_0=y_0=0.5$):



разность:



непонятно:

- почему они отличаются на нечто большее, чем константа?
- почему производная разности не равна нулю?

Литература

[1] Свешников, А. Г. Лекции по математической физике/ А. Г. Свешников, А. Н. Боголюбов, В. В. Кравцов. — М. : Издательство МГУ, 1993. — 352 с.

[ИСН]

1) Вы про обычные ряды Фурье на отрезке слышали когда-нибудь? знаете, что у ломаных и разрывных функций они тоже есть? задумывались о характере сходимости? Там ведь то же самое: каждая частичная сумма бесконечно гладкая, а потом смотришь, и ой.
2) Вы же сами говорите, что функция Грина может отличаться от логарифма на произвольную гармоническую функцию. Вот это она и есть, я думаю. (Кроме пика в середине.)

[Munin]

Функция Грина - логарифм, если мы рассматриваем неограниченную область. Когда мы берём прямоугольник, мы накладываем граничные условия, и получаем другую функцию Грина. Функция Грина по-прежнему по определению решение задачи $\Delta_xG(x,x_0)=\delta(x-x_0).$

Например, физически граничные условия Дирихле соответствуют проводящей поверхности. В ней заряды отражаются, так что если мы рассмотрим заряд в виде дельта-функции, за счёт граничных условий у нас появится одновременно поле всех его отражений - мнимых изображений. Понятно, что это будет уже не то же самое, что исходный логарифм. Граничные условия Неймана тоже дают отражения, но того же знака, в электростатике этот случай не реализуется.

Поскольку все мнимые заряды находятся вне области решения, то разность между старой функцией Грина (логарифм) и новой (с учётом граничных условий) - гармоническая функция. Но она вовсе не должна быть константой. И производная от неё не равна нулю. От неё равен нулю только оператор Лапласа.

Как ряд бесконечно дифференцируемых функций может давать разрывы - это банальность (подумайте, как разрывная функция модет быть разложена в ряд Фурье), про это сейчас лень говорить.

-- 21.03.2012 00:34:42 --

P. S. Бесконечность пишется \infty, а \inf - это инфинум.

[theambient]

1) понятно, можно не объяснять, достаточно вспомнить ${x^n}_{n=1}^\infty, x \tends \infty$.

2) ситуация прояснилась. я попался на то, что считал ф. Грина с логарифмом решением в прямоугольнике, а это решение в круге, если, конечно, ничего не путаю.

Спасибо!

[ewert]

theambient в сообщении #550565 писал(а):

считал ф. Грина с логарифмом решением в прямоугольнике, а это решение в круге

Это и в круге не решение. Т.е. примерно настолько же не решение, что и в любой другой области.

Ключевая странность:

theambient в сообщении #550548 писал(а):

где $v$ - произвольная гармоническая функция.

[Munin]

theambient в сообщении #550565 писал(а):

2) ситуация прояснилась. я попался на то, что считал ф. Грина с логарифмом решением в прямоугольнике, а это решение в круге, если, конечно, ничего не путаю.

В круге это будет решением только для источника в центре круга. А вообще логарифм, повторяю, решение для неограниченной области, бесконечной плоскости.

Вместо \tends пишите \to